Номер 237, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 237, страница 56.

237. При каких целых $n$ значение дроби является целым числом:

а) $ \frac{5n^2+2n+3}{n} $;

б) $ \frac{(n-3)^2}{n} $;

в) $ \frac{3n}{n+2} $;

г) $ \frac{7n}{n-4} $?

а)

Чтобы значение дроби $\frac{5n^2 + 2n + 3}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. При этом $n$ — целое число, не равное нулю ($n \neq 0$).Преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:$\frac{5n^2 + 2n + 3}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = 5n + 2 + \frac{3}{n}$.

Так как $n$ — целое число, выражение $5n + 2$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ было целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 3.

Целые делители числа 3: $1, -1, 3, -3$.

Ответ: -3, -1, 1, 3.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{(n-3)^2}{n}$, где $n$ — целое число и $n \neq 0$.Сначала раскроем квадрат в числителе: $(n-3)^2 = n^2 - 6n + 9$.Теперь подставим это в дробь и разделим почленно:$\frac{n^2 - 6n + 9}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{6n}{n} + \frac{9}{n} = n - 6 + \frac{9}{n}$.

Выражение $n - 6$ является целым, так как $n$ — целое. Значит, для целочисленности всей дроби необходимо, чтобы $\frac{9}{n}$ было целым числом. Это означает, что $n$ должно быть делителем числа 9.

Целые делители числа 9: $1, -1, 3, -3, 9, -9$.

Ответ: -9, -3, -1, 1, 3, 9.

в)

Чтобы значение дроби $\frac{3n}{n+2}$ было целым числом, преобразуем её, выделив целую часть. Условие: $n+2 \neq 0$, то есть $n \neq -2$.Представим числитель $3n$ в виде, содержащем знаменатель $(n+2)$: $3n = 3(n+2) - 6$.Тогда дробь примет вид:$\frac{3(n+2) - 6}{n+2} = \frac{3(n+2)}{n+2} - \frac{6}{n+2} = 3 - \frac{6}{n+2}$.

Число 3 является целым. Следовательно, выражение будет целым, если дробь $\frac{6}{n+2}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $(n+2)$ является делителем числителя 6.

Целые делители числа 6: $1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6$.Приравняем $(n+2)$ к каждому из этих делителей и найдем $n$:
$n+2 = 1 \implies n = -1$
$n+2 = -1 \implies n = -3$
$n+2 = 2 \implies n = 0$
$n+2 = -2 \implies n = -4$
$n+2 = 3 \implies n = 1$
$n+2 = -3 \implies n = -5$
$n+2 = 6 \implies n = 4$
$n+2 = -6 \implies n = -8$

Ответ: -8, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 4.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{7n}{n-4}$. Условие: $n-4 \neq 0$, то есть $n \neq 4$.Выделим целую часть, представив числитель $7n$ через знаменатель $(n-4)$: $7n = 7(n-4) + 28$.Подставим в дробь:$\frac{7(n-4) + 28}{n-4} = \frac{7(n-4)}{n-4} + \frac{28}{n-4} = 7 + \frac{28}{n-4}$.

Так как 7 — целое число, вся сумма будет целой, если дробь $\frac{28}{n-4}$ будет целой. Это означает, что знаменатель $(n-4)$ должен быть делителем числителя 28.

Целые делители числа 28: $1, -1, 2, -2, 4, -4, 7, -7, 14, -14, 28, -28$.Приравняем $(n-4)$ к каждому из этих делителей и найдем $n$:
$n-4 = 1 \implies n = 5$
$n-4 = -1 \implies n = 3$
$n-4 = 2 \implies n = 6$
$n-4 = -2 \implies n = 2$
$n-4 = 4 \implies n = 8$
$n-4 = -4 \implies n = 0$
$n-4 = 7 \implies n = 11$
$n-4 = -7 \implies n = -3$
$n-4 = 14 \implies n = 18$
$n-4 = -14 \implies n = -10$
$n-4 = 28 \implies n = 32$
$n-4 = -28 \implies n = -24$

Ответ: -24, -10, -3, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 18, 32.