Номер 233, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 233, страница 56.

233. Упростите выражение:

а) $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $

б) $ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} $

а)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $ приведем знаменатели к общему виду, используя свойство $x-y = -(y-x)$.

Преобразуем вторую и третью дроби, чтобы множители в знаменателях были одинаковыми:

$ \frac{1}{b(b-c)(b-a)} = \frac{1}{b(b-c)(-(a-b))} = -\frac{1}{b(a-b)(b-c)} $

$ \frac{1}{c(c-a)(c-b)} = \frac{1}{c(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

После преобразования исходное выражение принимает вид:

$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $abc(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$ \frac{bc(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Объединим дроби, записав числители под общей дробной чертой:

$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Теперь упростим числитель. Сначала раскроем скобки:

$ b^2c - bc^2 - (a^2c - ac^2) + a^2b - ab^2 = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$ и разложим на множители:

$ a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) $

Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки:

$ (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) $

Разложим на множители выражение во второй скобке:

$ (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c) $

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$ \frac{1}{abc} $

Ответ: $ \frac{1}{abc} $.

б)

Для упрощения выражения $ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} $ приведем знаменатели к общему виду, используя свойство $a-b = -(b-a)$.

Преобразуем вторую и третью дроби:

$ \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} = \frac{y^2}{-(x-y)(y-z)} = -\frac{y^2}{(x-y)(y-z)} $

$ \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} = \frac{z^2}{(-(x-z))(-(y-z))} = \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-z)} + \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $(x-y)(x-z)(y-z)$. Приведем все дроби к нему:

$ \frac{x^2(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} - \frac{y^2(x-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} + \frac{z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{x^2(y-z) - y^2(x-z) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Упростим числитель. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$ x^2y - x^2z - y^2x + y^2z + z^2x - z^2y = x^2(y-z) - x(y^2-z^2) + yz(y-z) $

Разложим на множители, вынося общие множители за скобки:

$ x^2(y-z) - x(y-z)(y+z) + yz(y-z) = (y-z)(x^2 - x(y+z) + yz) $

Разложим на множители выражение во второй скобке:

$ (y-z)(x^2 - xy - xz + yz) = (y-z)(x(x-y) - z(x-y)) = (y-z)(x-y)(x-z) $

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Так как числитель и знаменатель равны, их частное равно 1.

Ответ: 1.