Страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

239. Упростите выражение:

a) $\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab}$

б) $\frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab}$

а)

Дано выражение: $ \frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab} $.

Для упрощения выражения разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ a^2 + ax + ab + bx = (a^2 + ax) + (ab + bx) = a(a+x) + b(a+x) = (a+x)(a+b) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ a^2 - ax - ab + bx = (a^2 - ab) - (ax - bx) = a(a-b) - x(a-b) = (a-b)(a-x) $.

3. Числитель второй дроби: $ a^2 - ax - bx + ab = (a^2 + ab) - (ax + bx) = a(a+b) - x(a+b) = (a-x)(a+b) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ a^2 + ax - bx - ab = (a^2 - ab) + (ax - bx) = a(a-b) + x(a-b) = (a-b)(a+x) $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$ \frac{(a+x)(a+b)}{(a-b)(a-x)} \cdot \frac{(a-x)(a+b)}{(a-b)(a+x)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ (a+x) $ и $ (a-x) $):

$ \frac{\cancel{(a+x)}(a+b)}{(a-b)\cancel{(a-x)}} \cdot \frac{\cancel{(a-x)}(a+b)}{(a-b)\cancel{(a+x)}} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a-b)} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 $

б)

Дано выражение: $ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab} $.

Заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} \cdot \frac{x^2 - bx - ax + ab}{x^2 + bx + ax + ab} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ x^2 - bx + ax - ab = (x^2 - bx) + (ax - ab) = x(x-b) + a(x-b) = (x-b)(x+a) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ x^2 + bx - ax - ab = (x^2 + bx) - (ax + ab) = x(x+b) - a(x+b) = (x+b)(x-a) $.

3. Числитель второй дроби: $ x^2 - bx - ax + ab = (x^2 - bx) - (ax - ab) = x(x-b) - a(x-b) = (x-b)(x-a) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ x^2 + bx + ax + ab = (x^2 + bx) + (ax + ab) = x(x+b) + a(x+b) = (x+b)(x+a) $.

Подставим разложенные выражения обратно:

$ \frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x-a)} \cdot \frac{(x-b)(x-a)}{(x+b)(x+a)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ (x+a) $ и $ (x-a) $):

$ \frac{(x-b)\cancel{(x+a)}}{(x+b)\cancel{(x-a)}} \cdot \frac{(x-b)\cancel{(x-a)}}{(x+b)\cancel{(x+a)}} = \frac{(x-b)(x-b)}{(x+b)(x+b)} = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2} = \left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2 $

241. Докажите, что при любом целом a и дробном x значение выражения

$(a - \frac{a^2 + x^2}{a+x}) \cdot (\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x})$

является чётным числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения является чётным числом при любом целом a и дробном x, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение:

$$ \left(a - \frac{a^2 + x^2}{a+x}\right) \cdot \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x}\right) $$

Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

Упрощение первого множителя

Приведем выражение в первой скобке к общему знаменателю $(a+x)$:

$$ a - \frac{a^2 + x^2}{a+x} = \frac{a(a+x) - (a^2 + x^2)}{a+x} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a+x} = \frac{ax - x^2}{a+x} $$

Вынесем общий множитель x за скобки в числителе:

$$ \frac{x(a - x)}{a+x} $$

Упрощение второго множителя

Приведем дроби во второй скобке к общему знаменателю $x(a-x)$:

$$ \frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x} = \frac{2a(a-x) + 4ax}{x(a-x)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a-x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a-x)} $$

Вынесем общий множитель 2a за скобки в числителе:

$$ \frac{2a(a+x)}{x(a-x)} $$

Перемножение и итоговое упрощение

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$$ \frac{x(a - x)}{a+x} \cdot \frac{2a(a+x)}{x(a-x)} $$

По условию a — целое число, а x — дробное. Это означает, что $x \ne 0$. Также $x \ne a$ и $x \ne -a$, так как целое число не может быть равно дробному. Следовательно, знаменатели выражений не равны нулю, и мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{x}\cancel{(a - x)}}{\cancel{a+x}} \cdot \frac{2a\cancel{(a+x)}}{\cancel{x}\cancel{(a-x)}} = 2a $$

В результате упрощения мы получили выражение $2a$. По условию задачи, a является целым числом. Любое целое число при умножении на 2 дает в результате чётное число. Таким образом, значение исходного выражения при заданных условиях всегда является чётным числом.

Ответ: значение выражения равно $2a$. Так как a — целое число, то $2a$ по определению является чётным числом, что и требовалось доказать.

243. Упростите выражение:

а) $ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} - a - b \right);$

б) $\left( \frac{y^2 - xy}{x^2 + xy} - xy + y^2 \right) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y};$

в) $\left( \frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{4a^2-b^2} + \frac{1}{(2a+b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a};$

г) $\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \left( \frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{c^2-4} \right).$

а) $ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} - a - b \right)$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки, предварительно сгруппировав $-a-b = -(a+b)$.

$\frac{a+b}{a-b} - a - b = \frac{a+b}{a-b} - (a+b) = (a+b) \left( \frac{1}{a-b} - 1 \right)$

2. Приведем выражение в новых скобках к общему знаменателю.

$(a+b) \left( \frac{1 - (a-b)}{a-b} \right) = (a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$

3. Подставим упрощенное выражение обратно в исходное.

$ab + \frac{ab}{a+b} \cdot (a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$

4. Сократим $(a+b)$.

$ab + ab \cdot \frac{1-a+b}{a-b}$

5. Вынесем $ab$ за скобки.

$ab \left( 1 + \frac{1-a+b}{a-b} \right)$

6. Приведем к общему знаменателю выражение в скобках.

$ab \left( \frac{a-b}{a-b} + \frac{1-a+b}{a-b} \right) = ab \left( \frac{a-b+1-a+b}{a-b} \right) = ab \left( \frac{1}{a-b} \right) = \frac{ab}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab}{a-b}$

б) $\left( \frac{y^2-xy}{x^2+xy} - xy + y^2 \right) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y}$

1. Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\frac{x}{x-y}$.

$\frac{y^2-xy}{x^2+xy} \cdot \frac{x}{x-y} + (-xy+y^2) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y}$

2. Упростим первое произведение. Разложим числители и знаменатели на множители.

$\frac{y(y-x)}{x(x+y)} \cdot \frac{x}{x-y} = \frac{-y(x-y)}{x(x+y)} \cdot \frac{x}{x-y}$

Сокращаем $x$ и $(x-y)$:

$\frac{-y}{x+y}$

3. Упростим второе произведение. Вынесем $-y$ за скобки.

$(-xy+y^2) \cdot \frac{x}{x-y} = -y(x-y) \cdot \frac{x}{x-y}$

Сокращаем $(x-y)$:

$-yx = -xy$

4. Подставим упрощенные части обратно в выражение.

$\frac{-y}{x+y} - xy + \frac{y}{x+y}$

5. Сгруппируем дроби. Они взаимно уничтожаются.

$\left(\frac{-y}{x+y} + \frac{y}{x+y}\right) - xy = 0 - xy = -xy$

Ответ: $-xy$

в) $\left( \frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{4a^2-b^2} + \frac{1}{(2a+b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}$

1. Рассмотрим выражение в первых скобках. Заметим, что $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$.

$\frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{(2a-b)(2a+b)} + \frac{1}{(2a+b)^2}$

Это выражение является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = \frac{1}{2a-b}$ и $y = \frac{1}{2a+b}$.

$\left( \frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} \right)^2$

2. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю.

$\frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} = \frac{(2a+b)+(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2}$

3. Возведем результат в квадрат.

$\left( \frac{4a}{4a^2-b^2} \right)^2 = \frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2}$

4. Теперь рассмотрим второй множитель. Числитель $4a^2+4ab+b^2$ является полным квадратом $(2a+b)^2$.

$\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a} = \frac{(2a+b)^2}{16a}$

5. Перемножим полученные выражения.

$\frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a} = \frac{16a^2}{((2a-b)(2a+b))^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a} = \frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a}$

6. Сократим общие множители $16a$ и $(2a+b)^2$.

$\frac{a}{(2a-b)^2}$

Ответ: $\frac{a}{(2a-b)^2}$

г) $\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \left( \frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{c^2-4} \right)$

1. Рассмотрим выражение в скобках (делитель). Заметим, что $c^2-4 = (c-2)(c+2)$.

$\frac{1}{(c+2)^2} + \frac{2}{(c-2)(c+2)} + \frac{1}{(c-2)^2}$

Это выражение является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = \frac{1}{c+2}$ и $y = \frac{1}{c-2}$.

$\left( \frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} \right)^2$

2. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю.

$\frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} = \frac{(c-2)+(c+2)}{(c+2)(c-2)} = \frac{2c}{c^2-4}$

3. Возведем результат в квадрат.

$\left( \frac{2c}{c^2-4} \right)^2 = \frac{4c^2}{(c^2-4)^2}$

4. Теперь выполним деление.

$\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \frac{4c^2}{(c^2-4)^2} = \frac{4c^2}{(c-2)^4} \cdot \frac{(c^2-4)^2}{4c^2}$

5. Сократим $4c^2$ и подставим $c^2-4=(c-2)(c+2)$.

$\frac{((c-2)(c+2))^2}{(c-2)^4} = \frac{(c-2)^2(c+2)^2}{(c-2)^4}$

6. Сократим $(c-2)^2$.

$\frac{(c+2)^2}{(c-2)^2} = \left(\frac{c+2}{c-2}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{c+2}{c-2}\right)^2$

240. Докажите, что если $m \ne n$, $m \ne 0$ и $n \ne 0$, то значение выражения $\frac{2}{mn} : \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right)^2 - \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}$ не зависит от значений переменных.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от значений переменных $m$ и $n$, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощений получится константа (число), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$$ \frac{2}{mn} : \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \right)^2 - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $$

Упростим выражение по действиям. Заданные условия $m \neq n$, $m \neq 0$ и $n \neq 0$ обеспечивают, что знаменатели в выражении не обращаются в нуль.

1. Первым действием выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $mn$:

$$ \frac{1}{m} - \frac{1}{n} = \frac{n}{mn} - \frac{m}{mn} = \frac{n-m}{mn} $$

2. Далее возведем полученный результат в квадрат:

$$ \left( \frac{n-m}{mn} \right)^2 = \frac{(n-m)^2}{(mn)^2} = \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} $$

Мы воспользовались тем, что $(n-m)^2 = (-(m-n))^2 = (m-n)^2$.

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$$ \frac{2}{mn} : \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} = \frac{2}{mn} \cdot \frac{m^2n^2}{(m-n)^2} $$

Сократим полученную дробь на общий множитель $mn$:

$$ \frac{2 \cdot m^2n^2}{mn \cdot (m-n)^2} = \frac{2mn}{(m-n)^2} $$

4. Наконец, выполним последнее действие — вычитание. Подставим результат предыдущего действия в исходное выражение:

$$ \frac{2mn}{(m-n)^2} - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $$

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть их числители:

$$ \frac{2mn - (m^2 + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{2mn - m^2 - n^2}{(m-n)^2} $$

5. Упростим числитель. Для этого вынесем знак минус за скобки:

$$ 2mn - m^2 - n^2 = -(m^2 - 2mn + n^2) $$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$. Следовательно, числитель равен $-(m-n)^2$.

6. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} $$

Поскольку $m \neq n$, то $(m-n)^2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(m-n)^2$:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} = -1 $$

В результате всех преобразований мы получили число -1. Это значение является константой и не зависит от значений переменных $m$ и $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно -1 и не зависит от значений переменных.

242. Докажите, что при любом значении x, большем 2, значение выражения

$(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2) : \frac{x+1}{x+3} - \frac{x^2 - 5x + 3}{2x}$

является отрицательным числом.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения является отрицательным при $x > 2$, мы упростим это выражение, выполняя действия по порядку.

1. Первым шагом упростим выражение в скобках: $\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2$.

Для этого приведем все члены к общему знаменателю $2x(x+3)$:

$\frac{(x+1)(x+3)}{2x(x+3)} + \frac{4 \cdot 2x}{2x(x+3)} - \frac{2 \cdot 2x(x+3)}{2x(x+3)} = \frac{(x^2+3x+x+3) + 8x - (4x^2+12x)}{2x(x+3)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2+4x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+3)} = \frac{-3x^2+3}{2x(x+3)} = \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)}$

2. Далее выполним деление полученного выражения на дробь $\frac{x+1}{x+3}$:

$\frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} : \frac{x+1}{x+3} = \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1}$

Разложим $x^2-1$ на множители как разность квадратов и сократим дробь. Учитывая, что по условию $x > 2$, знаменатели $x+3$ и $x+1$ не равны нулю.

$\frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} = \frac{-3(x-1)}{2x}$

3. Теперь выполним последнее действие — вычитание:

$\frac{-3(x-1)}{2x} - \frac{x^2 - 5x + 3}{2x}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{-3(x-1) - (x^2 - 5x + 3)}{2x} = \frac{-3x+3 - x^2 + 5x - 3}{2x}$

Снова приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-x^2+2x}{2x}$

4. Упростим итоговое выражение. Вынесем в числителе за скобки $-x$:

$\frac{-x(x-2)}{2x}$

Сократим дробь на $x$ (это возможно, так как $x > 2$ и, следовательно, $x \neq 0$):

$\frac{-(x-2)}{2} = \frac{2-x}{2}$

5. Проанализируем полученный результат. Нам нужно доказать, что выражение $\frac{2-x}{2}$ отрицательно при $x > 2$.

Если $x > 2$, то разность $2-x$ будет отрицательным числом (из меньшего числа вычитается большее). Знаменатель дроби равен 2, что является положительным числом. При делении отрицательного числа на положительное результат всегда будет отрицательным.

Таким образом, мы доказали, что при любом значении $x$, большем 2, значение исходного выражения является отрицательным числом.

Ответ: Утверждение доказано.

244. Упростите выражение:

a) $\left( x - \frac{4xy}{x+y} + y \right) \cdot \left( x + \frac{4xy}{x-y} - y \right);$

б) $\left( a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 \right) : \left( 1 - \frac{1}{1-a} \right).$

а)

Сначала упростим выражение в первой скобке. Для этого сгруппируем слагаемые $x$ и $y$ и приведем к общему знаменателю $(x+y)$:

$\left(x - \frac{4xy}{x+y} + y\right) = \left((x+y) - \frac{4xy}{x+y}\right) = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{x+y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x+y}$

Числитель является полным квадратом разности $(x-y)^2$:

$\frac{(x-y)^2}{x+y}$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Сгруппируем слагаемые $x$ и $-y$ и приведем к общему знаменателю $(x-y)$:

$\left(x + \frac{4xy}{x-y} - y\right) = \left((x-y) + \frac{4xy}{x-y}\right) = \frac{(x-y)^2 + 4xy}{x-y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x^2 - 2xy + y^2 + 4xy}{x-y} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y}$

Числитель является полным квадратом суммы $(x+y)^2$:

$\frac{(x+y)^2}{x-y}$

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x-y}$

Сократим общие множители $(x-y)$ и $(x+y)$:

$(x-y) \cdot (x+y) = x^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2$

б)

Упростим выражение, выполняя действия по порядку.

1. Упростим выражение в первой скобке. Сгруппируем $a$ и $1$ и приведем к общему знаменателю $(1-a)$:

$a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 = (a+1) - \frac{1-2a^2}{1-a} = \frac{(a+1)(1-a) - (1-2a^2)}{1-a}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(a+1)(1-a) = 1-a^2$ и упростим выражение:

$\frac{1-a^2 - 1 + 2a^2}{1-a} = \frac{a^2}{1-a}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(1-a)$:

$1 - \frac{1}{1-a} = \frac{1 \cdot (1-a) - 1}{1-a} = \frac{1-a-1}{1-a} = \frac{-a}{1-a}$

3. Выполним деление результатов, полученных в действиях 1 и 2. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2}{1-a} : \left(\frac{-a}{1-a}\right) = \frac{a^2}{1-a} \cdot \frac{1-a}{-a}$

Сократим дробь на общий множитель $(1-a)$ и на $a$:

$\frac{a^2}{-a} = -a$

Ответ: $-a$