Номер 214, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 214, страница 53.

214. Сократите дробь:

а) $\frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2}$;

б) $\frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3}$;

в) $\frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3}$;

г) $\frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0,36b^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобку: $(3a - 3c)^2 = (3(a - c))^2 = 3^2(a - c)^2 = 9(a - c)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 9 за скобку и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$9a^2 - 9c^2 = 9(a^2 - c^2) = 9(a - c)(a + c)$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{9(a - c)^2}{9(a - c)(a + c)}$.
Сократим общий множитель $9(a - c)$:$\frac{9(a-c)(a-c)}{9(a-c)(a+c)} = \frac{a - c}{a + c}$.
Ответ: $\frac{a - c}{a + c}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$:$(a^2 - 9)^2 = ((a - 3)(a + 3))^2 = (a - 3)^2(a + 3)^2$.
В знаменателе вынесем -1 за скобку, чтобы получить выражение $(a - 3)$:$(3 - a)^3 = (-(a - 3))^3 = (-1)^3(a - 3)^3 = -(a - 3)^3$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{(a - 3)^2(a + 3)^2}{-(a - 3)^3}$.
Сократим общий множитель $(a - 3)^2$:$\frac{(a + 3)^2}{-(a - 3)} = -\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$.
Ответ: $-\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель представляет собой разность кубов. Применим формулу $x^3 - z^3 = (x - z)(x^2 + xz + z^2)$:$8y^3 - 1 = (2y)^3 - 1^3 = (2y - 1)((2y)^2 + 2y \cdot 1 + 1^2) = (2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $y$ и применим формулу разности квадратов:$y - 4y^3 = y(1 - 4y^2) = y(1^2 - (2y)^2) = y(1 - 2y)(1 + 2y)$.
Заметим, что $(1 - 2y) = -(2y - 1)$. Перепишем знаменатель: $y(-(2y - 1))(1 + 2y) = -y(2y - 1)(2y + 1)$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)}{-y(2y - 1)(2y + 1)}$.
Сократим общий множитель $(2y - 1)$:$\frac{4y^2 + 2y + 1}{-y(2y + 1)} = -\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)}$.
Ответ: $-\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0,36b^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобку: $5a^2 - 3ab = a(5a - 3b)$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов. Заметим, что $0,36 = (0,6)^2$:$a^2 - 0,36b^2 = a^2 - (0,6b)^2 = (a - 0,6b)(a + 0,6b)$.
Чтобы найти общий множитель, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{3}{5}$.Знаменатель: $(a - \frac{3}{5}b)(a + \frac{3}{5}b)$. Вынесем $\frac{1}{5}$ из первой скобки: $\frac{1}{5}(5a - 3b)(a + \frac{3}{5}b)$.
Подставим полученные выражения в дробь:$\frac{a(5a - 3b)}{\frac{1}{5}(5a - 3b)(a + \frac{3}{5}b)}$.
Сократим общий множитель $(5a - 3b)$:$\frac{a}{\frac{1}{5}(a + \frac{3}{5}b)} = \frac{5a}{a + \frac{3}{5}b}$.
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 5:$\frac{5a \cdot 5}{(a + \frac{3}{5}b) \cdot 5} = \frac{25a}{5a + 3b}$.
Ответ: $\frac{25a}{5a + 3b}$.