Номер 361, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Функция y=√x и её график. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 361, страница 87.

361. Приведите пример, опровергающий утверждение:

а) график функции $y = -x + 2$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$;

б) график функции $y = -x$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$;

в) график функции $y = 2x - 6$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

а) Чтобы опровергнуть утверждение, что график функции $y = -x + 2$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, нужно найти хотя бы одну общую точку этих графиков. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = \sqrt{x} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений: $\sqrt{x} = -x + 2$.

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ есть $x \ge 0$. Также, поскольку значение корня не может быть отрицательным, $y \ge 0$. Из первого уравнения следует, что $-x + 2 \ge 0$, то есть $x \le 2$. Таким образом, мы ищем решение при $0 \le x \le 2$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = -x + 2$ в квадрат:

$x = (-x + 2)^2$

$x = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому он является посторонним.

Проверим корень $x_1 = 1$. Он удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \sqrt{1} = 1$

$y = -1 + 2 = 1$

Значения $y$ совпадают. Следовательно, точка $(1; 1)$ является точкой пересечения графиков. Это и есть пример, опровергающий исходное утверждение.

Ответ: Точка $(1; 1)$ является общей для графиков функций $y = -x + 2$ и $y = \sqrt{x}$, следовательно, они пересекаются.

б) Чтобы опровергнуть утверждение, что график функции $y = -x$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, найдем их общую точку, решив систему:

$\begin{cases} y = -x \\ y = \sqrt{x} \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x$.

По определению, $\sqrt{x} \ge 0$, следовательно, должно выполняться и $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. В то же время, область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям ($x \ge 0$ и $x \le 0$), это $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в любое из уравнений:

$y = \sqrt{0} = 0$

$y = -0 = 0$

Таким образом, точка $(0; 0)$ является точкой пересечения графиков. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Точка $(0; 0)$ является общей для графиков функций $y = -x$ и $y = \sqrt{x}$, следовательно, они пересекаются.

в) Чтобы опровергнуть утверждение, что график функции $y = 2x - 6$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, найдем их общую точку, решив систему:

$\begin{cases} y = 2x - 6 \\ y = \sqrt{x} \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = 2x - 6$.

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то должно выполняться условие $2x - 6 \ge 0$, то есть $2x \ge 6$, откуда $x \ge 3$. Также $x \ge 0$ из области определения корня, но условие $x \ge 3$ является более строгим.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$ в квадрат:

$x = (2x - 6)^2$

$x = 4x^2 - 24x + 36$

$4x^2 - 25x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 36 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25$

Корень $x_2 = 2.25$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, поэтому он является посторонним.

Проверим корень $x_1 = 4$. Он удовлетворяет условию $x \ge 3$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \sqrt{4} = 2$

$y = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$

Значения $y$ совпадают. Следовательно, точка $(4; 2)$ является точкой пересечения графиков. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Точка $(4; 2)$ является общей для графиков функций $y = 2x - 6$ и $y = \sqrt{x}$, следовательно, они пересекаются.