Номер 365, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Функция y=√x и её график. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 365, страница 88.

365. Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{0,07}$;

б) $\sqrt{18}$, $\sqrt{12}$, $4$, $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{16,5}$;

в) $\sqrt{0,5}$, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $2\frac{1}{7}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$;

г) $0,7$, $\sqrt{1,7}$, $-1$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,04}$.

а)

Для того чтобы расположить числа $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{0,07}$ в порядке возрастания, нужно сравнить подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самого корня.

Сравним подкоренные выражения: $2,3$, $16,4$, $19,5$, $0,6$, $0,07$.

Расположим их в порядке возрастания:

$0,07 < 0,6 < 2,3 < 16,4 < 19,5$

Следовательно, и квадратные корни из этих чисел будут расположены в том же порядке:

$\sqrt{0,07} < \sqrt{0,6} < \sqrt{2,3} < \sqrt{16,4} < \sqrt{19,5}$

Ответ: $\sqrt{0,07}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$.

б)

В наборе чисел $\sqrt{18}$, $\sqrt{12}$, $4$, $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{16,5}$ есть число без знака корня. Чтобы сравнить все числа, представим $4$ в виде квадратного корня.

$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$

Теперь у нас есть следующий набор чисел: $\sqrt{18}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{16,5}$.

Сравним подкоренные выражения: $18$, $12$, $16$, $0,3$, $16,5$.

Расположим их в порядке возрастания:

$0,3 < 12 < 16 < 16,5 < 18$

Значит, и сами корни будут в том же порядке:

$\sqrt{0,3} < \sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{16,5} < \sqrt{18}$

Заменив $\sqrt{16}$ на исходное число $4$, получаем окончательный ряд.

Ответ: $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{12}$, $4$, $\sqrt{16,5}$, $\sqrt{18}$.

в)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{0,5}$, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $2\frac{1}{7}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$, приведем их все к одному виду — к квадратным корням. Для этого возведем числа без корня в квадрат и поместим результат под знак корня.

$\frac{1}{9} = \sqrt{(\frac{1}{9})^2} = \sqrt{\frac{1}{81}}$

$2\frac{1}{7} = \frac{15}{7} = \sqrt{(\frac{15}{7})^2} = \sqrt{\frac{225}{49}}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $0,5$, $\frac{1}{81}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{225}{49}$, $2\frac{1}{9}$.

Для удобства сравнения преобразуем их: $0,5=\frac{1}{2}$, $2\frac{1}{9}=\frac{19}{9}$. Получаем ряд: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{81}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{225}{49}$, $\frac{19}{9}$.

Сравним эти дроби. Можно привести их к десятичному виду:

$\frac{1}{81} \approx 0,012$

$\frac{1}{3} \approx 0,333$

$\frac{1}{2} = 0,5$

$\frac{19}{9} \approx 2,111$

$\frac{225}{49} \approx 4,592$

Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания:

$\frac{1}{81} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{19}{9} < \frac{225}{49}$

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания:

$\frac{1}{9} < \sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5} < \sqrt{2\frac{1}{9}} < 2\frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $\sqrt{0,5}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$, $2\frac{1}{7}$.

г)

В наборе чисел $0,7$, $\sqrt{1,7}$, $-1$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,04}$ есть одно отрицательное число, $-1$. Оно будет наименьшим, так как все остальные числа положительны.

Теперь сравним остальные числа: $0,7$, $\sqrt{1,7}$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,04}$.

Представим $0,7$ в виде квадратного корня:

$0,7 = \sqrt{0,7^2} = \sqrt{0,49}$

Сравним подкоренные выражения: $0,49$, $1,7$, $1\frac{1}{3}$, $1,04$.

Преобразуем смешанную дробь в десятичную для удобства: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,333...$

Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания:

$0,49 < 1,04 < 1,333... < 1,7$

Это соответствует следующему порядку для положительных чисел:

$0,7 < \sqrt{1,04} < \sqrt{1\frac{1}{3}} < \sqrt{1,7}$

Учитывая наименьшее число $-1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $-1$, $0,7$, $\sqrt{1,04}$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,7}$.