Номер 5, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 5, страница 88.

5 Как расположен график функции $y = \sqrt{x}$ в координатной плоскости? Пересекает ли этот график прямую $y = 25$; $y = 100$; $y = 10 000$?

Как расположен график функции y = √x в координатной плоскости?

График функции $y = \sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти. Это следует из свойств функции:
1. Область определения: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Это означает, что график лежит в правой полуплоскости (справа от оси Oy или на ней).
2. Область значений: по определению, арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $y \ge 0$. Это означает, что график лежит в верхней полуплоскости (выше оси Ox или на ней).

Совмещение этих двух условий ($x \ge 0$ и $y \ge 0$) означает, что график целиком находится в I координатной четверти.
График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку" (часть параболы $x = y^2$). Он начинается в точке начала координат $(0, 0)$ и является монотонно возрастающей функцией: с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти, начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает.

Пересекает ли этот график прямую y = 25; y = 100; y = 10 000?

Да, график функции пересекает все три прямые.
Чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ горизонтальную прямую $y = c$, нужно выяснить, имеет ли уравнение $\sqrt{x} = c$ решение. Такое уравнение имеет решение для любого неотрицательного значения $c$, так как область значений функции $y=\sqrt{x}$ — это множество всех неотрицательных чисел ($y \ge 0$).

Поскольку все заданные значения $y$ (25, 100, 10 000) положительны, то пересечения существуют. Найдем точки пересечения для каждого случая:

1. Для прямой $y=25$:
Решаем уравнение $\sqrt{x} = 25$. Возводим обе части в квадрат: $x = 25^2 = 625$.
Точка пересечения — $(625, 25)$.

2. Для прямой $y=100$:
Решаем уравнение $\sqrt{x} = 100$. Возводим обе части в квадрат: $x = 100^2 = 10\;000$.
Точка пересечения — $(10\;000, 100)$.

3. Для прямой $y=10\;000$:
Решаем уравнение $\sqrt{x} = 10\;000$. Возводим обе части в квадрат: $x = (10\;000)^2 = 100\;000\;000$.
Точка пересечения — $(100\;000\;000, 10\;000)$.

Ответ: Да, график функции $y=\sqrt{x}$ пересекает прямые $y=25$, $y=100$ и $y=10\;000$.