Номер 395, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 395, страница 95.

395. Замените выражение тождественно равным:

а) $\sqrt{p^2}$;

б) $\sqrt{y^2}$;

в) $3\sqrt{b^2}$;

г) $-0,2\sqrt{x^2}$;

д) $\sqrt{25a^2}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать основное тождество, связанное с арифметическим квадратным корнем: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль числа $a$ ($|a|$) равен самому числу $a$, если $a \ge 0$, и равен $-a$, если $a < 0$.

а) Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ к выражению $\sqrt{p^2}$.
В данном случае роль $a$ играет переменная $p$. Таким образом, получаем:
$\sqrt{p^2} = |p|$.
Ответ: $|p|$.

б) Аналогично пункту а), заменим выражение $\sqrt{y^2}$, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.
Здесь $a = y$, следовательно:
$\sqrt{y^2} = |y|$.
Ответ: $|y|$.

в) В выражении $3\sqrt{b^2}$ сначала упростим корень.
Согласно тождеству $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{b^2} = |b|$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент 3:
$3\sqrt{b^2} = 3 \cdot |b| = 3|b|$.
Ответ: $3|b|$.

г) Для выражения $-0,2\sqrt{x^2}$ поступим так же, как и в предыдущем пункте.
Сначала упростим $\sqrt{x^2}$:
$\sqrt{x^2} = |x|$.
Затем умножим результат на числовой коэффициент $-0,2$:
$-0,2\sqrt{x^2} = -0,2 \cdot |x| = -0,2|x|$.
Ответ: $-0,2|x|$.

д) Рассмотрим выражение $\sqrt{25a^2}$. Сначала представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.
$25a^2 = 5^2 \cdot a^2 = (5a)^2$.
Теперь исходное выражение можно переписать как $\sqrt{(5a)^2}$.
Применяем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, где $x = 5a$:
$\sqrt{(5a)^2} = |5a|$.
Используя свойство модуля произведения, $|cd| = |c| \cdot |d|$, получаем:
$|5a| = |5| \cdot |a| = 5|a|$.
Ответ: $5|a|$.