Номер 399, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 399, страница 95.

399. Верно ли равенство:

a) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$;

б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$?

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$, необходимо убедиться в двух вещах: что выражение в правой части неотрицательно, и что его квадрат равен подкоренному выражению в левой части.

1. Оценим знак выражения $\sqrt{3}-1$. Поскольку $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$, а значит, $\sqrt{3}-1 > 0$. Правая часть положительна, это условие выполняется.

2. Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Результат в точности совпадает с выражением под корнем в левой части. Это условие также выполняется.

Так как оба условия выполнены, исходное равенство верно.

Альтернативный способ решения — упростить левую часть. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$4-2\sqrt{3} = 3-2\sqrt{3}+1 = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$.
Тогда $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$.
Поскольку мы уже установили, что $\sqrt{3}-1>0$, то модуль можно опустить: $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.
Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим верность равенства $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$.

По определению, арифметический квадратный корень (выражение в левой части равенства) должен быть неотрицательным числом, то есть $\sqrt{9-4\sqrt{5}} \ge 0$.

Теперь оценим знак выражения в правой части: $2-\sqrt{5}$. Сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$, для чего возведем их в квадрат: $2^2=4$ и $(\sqrt{5})^2=5$.
Так как $4<5$, то $2<\sqrt{5}$. Следовательно, разность $2-\sqrt{5}$ является отрицательным числом.

В левой части равенства стоит неотрицательное число, а в правой — отрицательное. Неотрицательное число не может равняться отрицательному, поэтому данное равенство неверно.

Для полноты решения найдем правильное значение левой части. Упростим подкоренное выражение, выделив в нем полный квадрат:
$9-4\sqrt{5} = 5-4\sqrt{5}+4 = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot2 + 2^2 = (\sqrt{5}-2)^2$.
Следовательно, $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$.
Так как $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, то разность $\sqrt{5}-2$ положительна, и модуль можно опустить: $|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$.
Таким образом, верное равенство выглядит так: $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$.

Ответ: нет, равенство неверно.