Номер 470, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 470, страница 110.

470. При каких значениях a и b имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{ab}$;

б) $\sqrt{-ab}$;

в) $\sqrt{a^2b}$;

г) $\sqrt{a^2b^2}$;

д) $\sqrt{-ab^2}$;

е) $\sqrt{-a^2b^2}$?

а) Выражение $\sqrt{ab}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ab \ge 0$. Это неравенство выполняется в двух случаях: когда оба множителя неотрицательны ($a \ge 0$ и $b \ge 0$), либо когда оба множителя неположительны ($a \le 0$ и $b \le 0$). Таким образом, переменные $a$ и $b$ должны быть одного знака или равны нулю.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, или $a \le 0$ и $b \le 0$.

б) Выражение $\sqrt{-ab}$ имеет смысл, когда $-ab \ge 0$. Умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $ab \le 0$. Это неравенство справедливо, когда множители $a$ и $b$ имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \le 0$, или $a \le 0$ и $b \ge 0$.

в) Выражение $\sqrt{a^2b}$ имеет смысл, когда $a^2b \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, рассмотрим два случая. Если $a = 0$, то $a^2b = 0$, и выражение имеет смысл при любом $b$. Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и для выполнения неравенства $a^2b \ge 0$ необходимо, чтобы $b \ge 0$. Объединяя эти условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $b \ge 0$ (при любом $a$) или если $a=0$ (при любом $b$).
Ответ: $b \ge 0$, или $a=0$.

г) Выражение $\sqrt{a^2b^2}$ имеет смысл, когда $a^2b^2 \ge 0$. Это выражение можно записать как $(ab)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(ab)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

д) Выражение $\sqrt{-ab^2}$ имеет смысл, когда $-ab^2 \ge 0$, что эквивалентно $ab^2 \le 0$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного значения $b$, рассмотрим два случая. Если $b=0$, то $ab^2 = 0$, и выражение имеет смысл при любом $a$. Если $b \ne 0$, то $b^2 > 0$, и для выполнения неравенства $ab^2 \le 0$ необходимо, чтобы $a \le 0$. Объединяя эти условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $a \le 0$ (при любом $b$) или если $b=0$ (при любом $a$).
Ответ: $a \le 0$, или $b=0$.

е) Выражение $\sqrt{-a^2b^2}$ имеет смысл, когда $-a^2b^2 \ge 0$. Это можно переписать как $-(ab)^2 \ge 0$. Поскольку $(ab)^2$ всегда неотрицательно ($(ab)^2 \ge 0$), то $-(ab)^2$ всегда неположительно ($-(ab)^2 \le 0$). Следовательно, неравенство $-(ab)^2 \ge 0$ выполняется только в том случае, когда $-(ab)^2 = 0$. Это означает, что $(ab)^2 = 0$, что в свою очередь равносильно $ab=0$. Произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю.
Ответ: $a=0$ или $b=0$.