Номер 469, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 469, страница 110.

469. Укажите допустимые значения переменной x в выражении:

a) $\sqrt{x^3}$;

б) $\sqrt{x^4}$;

в) $\sqrt{x^2+1}$;

г) $\sqrt{(4-x)^2}$;

д) $\sqrt{-x^2}$;

е) $\sqrt{-x^3}$.

Для нахождения допустимых значений переменной $x$ в выражениях с квадратным корнем необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (больше или равно нулю).

а) Выражение $\sqrt{x^3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x^3 \ge 0$. Так как нечетная степень числа имеет тот же знак, что и само число, данное неравенство равносильно неравенству $x \ge 0$.

Ответ: $x \ge 0$ или $x \in [0, +\infty)$.

б) Для выражения $\sqrt{x^4}$ подкоренное выражение $x^4$ должно быть неотрицательным: $x^4 \ge 0$. Четная степень любого действительного числа ($x^4$) всегда является неотрицательным числом. Поэтому это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty, +\infty)$.

в) Выражение $\sqrt{x^2+1}$ имеет смысл при $x^2 + 1 \ge 0$. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным: $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) Для выражения $\sqrt{(4-x)^2}$ подкоренное выражение $(4-x)^2$ должно быть неотрицательным: $(4-x)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как $4-x$ является действительным числом для любого $x$, то $(4-x)^2 \ge 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty, +\infty)$.

д) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда $-x^2 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 \le 0$. С другой стороны, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Оба неравенства ($x^2 \le 0$ и $x^2 \ge 0$) могут выполняться одновременно только в одном случае: когда $x^2 = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x=0$.

Ответ: $x=0$.

е) Для выражения $\sqrt{-x^3}$ необходимо, чтобы $-x^3 \ge 0$. Умножим неравенство на $-1$ и изменим его знак: $x^3 \le 0$. Нечетная степень числа ($x^3$) имеет тот же знак, что и само число ($x$). Поэтому неравенство $x^3 \le 0$ равносильно неравенству $x \le 0$.

Ответ: $x \le 0$ или $x \in (-\infty, 0]$.