Номер 498, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 498, страница 114.

498. Докажите, что значения выражений $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} $ и $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} $ являются натуральными числами.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Чтобы доказать, что значение данного выражения является натуральным числом, вычислим его. Обозначим выражение через $x$:

$x = \sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Поскольку корень из положительного числа есть число положительное, сумма двух таких корней $x$ также является положительным числом.

Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$x^2 = (\sqrt{7+4\sqrt{3}})^2 + 2 \cdot \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} + (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^2$

После возведения в квадрат крайних слагаемых и объединения корней в среднем слагаемом, получим:

$x^2 = (7+4\sqrt{3}) + 2 \cdot \sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} + (7-4\sqrt{3})$

Упростим произведение под внутренним корнем, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Подставим полученный результат обратно в выражение для $x^2$:

$x^2 = (7+4\sqrt{3}) + 2 \cdot \sqrt{1} + (7-4\sqrt{3})$

$x^2 = 7+4\sqrt{3} + 2 + 7-4\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые. Иррациональные части $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$x^2 = 7+2+7 = 16$

Поскольку мы установили, что $x > 0$, находим $x$, извлекая положительный квадратный корень из 16:

$x = \sqrt{16} = 4$.

Значение выражения равно 4, а 4 — это натуральное число.

Ответ: 4.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Для доказательства воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}$

Выражение под знаком корня является произведением сопряженных иррациональностей, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{1} = 1$.

Значение выражения равно 1, а 1 — это натуральное число.

Ответ: 1.