Номер 506, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 506, страница 115.

506. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

а) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$;

б) $\frac{a+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}$;

в) $\frac{7-\sqrt{a}}{49-7\sqrt{a}+a}$;

г) $\frac{\sqrt{mn+1}}{mn+\sqrt{mn+1}}$.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ является выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

Выполним умножение:

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

В знаменателе раскроем скобки:

$\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = x + \sqrt{xy}$

В результате получаем дробь без иррациональности в числителе:

$\frac{x-y}{x + \sqrt{xy}}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+\sqrt{xy}}$

б) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $a + \sqrt{b}$ является выражение $a - \sqrt{b}$.

Выполним умножение:

$\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a - \sqrt{b})}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$

В знаменателе раскроем скобки:

$a\sqrt{b}(a - \sqrt{b}) = a\sqrt{b} \cdot a - a\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = a^2\sqrt{b} - ab$

В результате получаем дробь:

$\frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b} - ab}$

Ответ: $\frac{a^2-b}{a^2\sqrt{b}-ab}$

в) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $7 - \sqrt{a}$ является выражение $7 + \sqrt{a}$.

Выполним умножение:

$\frac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a} = \frac{(7 - \sqrt{a})(7 + \sqrt{a})}{(49 - 7\sqrt{a} + a)(7 + \sqrt{a})}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$(7 - \sqrt{a})(7 + \sqrt{a}) = 7^2 - (\sqrt{a})^2 = 49 - a$

Знаменатель $49 - 7\sqrt{a} + a$ можно представить как $7^2 - 7\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$. Тогда произведение в знаменателе является формулой суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$, где $x=7$ и $y=\sqrt{a}$:

$(7 + \sqrt{a})(7^2 - 7\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = 7^3 + (\sqrt{a})^3 = 343 + a\sqrt{a}$

В результате получаем дробь:

$\frac{49 - a}{343 + a\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{49-a}{343+a\sqrt{a}}$

г) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{mn+1}}{mn + \sqrt{mn+1}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на сам числитель, то есть на $\sqrt{mn+1}$.

Выполним умножение:

$\frac{\sqrt{mn+1}}{mn + \sqrt{mn+1}} = \frac{\sqrt{mn+1} \cdot \sqrt{mn+1}}{(mn + \sqrt{mn+1}) \cdot \sqrt{mn+1}}$

В числителе получаем:

$(\sqrt{mn+1})^2 = mn+1$

В знаменателе раскроем скобки:

$(mn + \sqrt{mn+1})\sqrt{mn+1} = mn\sqrt{mn+1} + (\sqrt{mn+1})^2 = mn\sqrt{mn+1} + mn+1$

В результате получаем дробь:

$\frac{mn+1}{mn\sqrt{mn+1} + mn+1}$

Ответ: $\frac{mn+1}{mn\sqrt{mn+1} + mn+1}$