Номер 668, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 668, страница 153.

668. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом $6080\text{ см}^3$, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.

Пусть ширина листа картона равна $x$ см. Согласно условию, длина листа в 1,5 раза больше его ширины, следовательно, длина листа равна $1.5x$ см.

Для изготовления открытой коробки по углам листа вырезают квадраты со стороной 8 см. После вырезания квадратов и сгибания сторон получается коробка со следующими размерами:

• Высота коробки, $h$, равна стороне вырезанного квадрата: $h = 8$ см.
• Длина основания коробки, $l_{коробки}$, равна первоначальной длине листа минус две стороны вырезанных квадратов (по одной с каждой стороны): $l_{коробки} = 1.5x - 2 \cdot 8 = 1.5x - 16$ см.
• Ширина основания коробки, $w_{коробки}$, равна первоначальной ширине листа минус две стороны вырезанных квадратов: $w_{коробки} = x - 2 \cdot 8 = x - 16$ см.

Размеры основания коробки должны быть положительными числами, поэтому $x - 16 > 0$, откуда $x > 16$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда (коробки) вычисляется по формуле $V = l_{коробки} \cdot w_{коробки} \cdot h$. По условию, объём коробки равен 6080 см³. Подставим известные значения в формулу:

$(1.5x - 16)(x - 16) \cdot 8 = 6080$

Теперь решим полученное уравнение. Разделим обе части на 8:

$(1.5x - 16)(x - 16) = \frac{6080}{8}$

$(1.5x - 16)(x - 16) = 760$

Раскроем скобки в левой части:

$1.5x^2 - 1.5x \cdot 16 - 16x + 16 \cdot 16 = 760$

$1.5x^2 - 24x - 16x + 256 = 760$

$1.5x^2 - 40x + 256 - 760 = 0$

$1.5x^2 - 40x - 504 = 0$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 2:

$3x^2 - 80x - 1008 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1008) = 6400 + 12 \cdot 1008 = 6400 + 12096 = 18496$

$\sqrt{D} = \sqrt{18496} = 136$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 + 136}{2 \cdot 3} = \frac{216}{6} = 36$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 - 136}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

Так как $x$ — это ширина листа картона, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2$ не является решением задачи. Проверим корень $x_1=36$ на соответствие условию $x > 16$. Так как $36 > 16$, это решение нам подходит.

Итак, ширина листа картона равна 36 см.

Теперь найдем длину листа картона:

Длина = $1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 36 = 54$ см.

Ответ: ширина листа картона 36 см, длина листа картона 54 см.