Номер 667, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 667, страница 153.

667. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на $1,08 \text{ м}^2$ меньше площади боковых стенок.

Пусть $w$ — ширина дна ящика в метрах, тогда $l$ — его длина в метрах. Согласно условию, ширина в 2 раза меньше длины, следовательно, $l = 2w$. Высота ящика $h = 0,5$ м.

Площадь дна ящика ($S_{дна}$) представляет собой площадь прямоугольника и вычисляется по формуле:
$S_{дна} = l \cdot w = (2w) \cdot w = 2w^2$

Площадь боковых стенок ($S_{бок}$) — это площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, которая равна произведению периметра основания на высоту:
Периметр основания $P = 2(l + w) = 2(2w + w) = 2(3w) = 6w$.
$S_{бок} = P \cdot h = 6w \cdot 0,5 = 3w$.

По условию задачи, площадь дна на $1,08$ м² меньше площади боковых стенок. Это можно записать в виде уравнения:
$S_{бок} - S_{дна} = 1,08$
Подставим в это уравнение выражения для площадей, которые мы получили ранее:
$3w - 2w^2 = 1,08$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2w^2 - 3w + 1,08 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ :
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1,08 = 9 - 8,64 = 0,36$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$w_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{0,36}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 0,6}{4} = \frac{3,6}{4} = 0,9$ м
$w_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{0,36}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 0,6}{4} = \frac{2,4}{4} = 0,6$ м

Оба корня положительны, значит, существуют два возможных варианта размеров ящика. Найдем объём ($V$) для каждого из них. Объём ящика вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.
$V = (2w) \cdot w \cdot 0,5 = w^2$.

1. Если ширина $w_1 = 0,9$ м, то объём равен:
$V_1 = (0,9)^2 = 0,81$ м³

2. Если ширина $w_2 = 0,6$ м, то объём равен:
$V_2 = (0,6)^2 = 0,36$ м³

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: объём ящика может быть равен 0,81 м³ или 0,36 м³.