Номер 650, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 650, страница 151.

650. Решите уравнение:

а) $(x + 2)^2 + (x - 3)^2 = 13;$

б) $(3x - 5)^2 - (2x + 1)^2 = 24;$

в) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) + 28 = x^2(x - 25);$

г) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 1 = 1.6x^2(5x - 2).$

а) $(x + 2)^2 + (x - 3)^2 = 13$

Для решения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 13$

$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) = 13$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 + 9) = 13$

$2x^2 - 2x + 13 = 13$

Перенесем число 13 из правой части в левую с противоположным знаком:

$2x^2 - 2x + 13 - 13 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Решая каждое из этих простых уравнений, находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Ответ: $0; 1$.

б) $(3x - 5)^2 - (2x + 1)^2 = 24$

Можно решить это уравнение двумя способами: раскрыть скобки или использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Воспользуемся первым способом.

Раскроем скобки по формулам квадрата разности и квадрата суммы:

$((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2) - ((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 24$

$(9x^2 - 30x + 25) - (4x^2 + 4x + 1) = 24$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$9x^2 - 30x + 25 - 4x^2 - 4x - 1 = 24$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 4x^2) + (-30x - 4x) + (25 - 1) = 24$

$5x^2 - 34x + 24 = 24$

Перенесем 24 из правой части в левую:

$5x^2 - 34x + 24 - 24 = 0$

$5x^2 - 34x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 34) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $5x - 34 = 0$

Находим корни:

$x_1 = 0$

$5x = 34 \implies x_2 = \frac{34}{5} = 6,8$

Ответ: $0; 6,8$.

в) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) + 28 = x^2(x - 25)$

В левой части уравнения узнаем формулу разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=4$.

$(x - 4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) = x^3 - 4^3 = x^3 - 64$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$(x^3 - 64) + 28 = x^2(x - 25)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части:

$x^3 - 36 = x^3 - 25x^2$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Можно заметить, что $x^3$ взаимно уничтожается:

$x^3 - x^3 + 25x^2 = 36$

$25x^2 = 36$

Разделим обе части на 25:

$x^2 = \frac{36}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак $\pm$:

$x = \pm\sqrt{\frac{36}{25}}$

$x = \pm\frac{6}{5}$

$x_1 = 1,2$, $x_2 = -1,2$

Ответ: $-1,2; 1,2$.

г) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

В левой части уравнения применим формулу суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Здесь $a=2x$ и $b=1$.

$(2x + 1)((2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2) = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(8x^3 + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части:

$8x^3 = 1,6x^2 \cdot 5x - 1,6x^2 \cdot 2$

$8x^3 = 8x^3 - 3,2x^2$

Перенесем $8x^3$ из правой части в левую:

$8x^3 - 8x^3 = -3,2x^2$

$0 = -3,2x^2$

Отсюда следует, что:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$.