Номер 655, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 655, страница 152.

655. При каких значениях $x$ верно равенство:

а) $(5x + 3)^2 = 5(x + 3);$

б) $(3x + 10)^2 = 3(x + 10);$

в) $(3x - 8)^2 = 3x^2 - 8x;$;

г) $(4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x;$

д) $(5x + 3)^2 = 5x + 3;$;

е) $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2;$

ж) $(4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2;$

з) $(2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2?$

а)

Решим уравнение $(5x + 3)^2 = 5(x + 3)$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях равенства. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой части — распределительный закон.

$(5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2 = 5 \cdot x + 5 \cdot 3$

$25x^2 + 30x + 9 = 5x + 15$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$25x^2 + 30x - 5x + 9 - 15 = 0$

$25x^2 + 25x - 6 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

$x_1 = \frac{-25 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0.2$

$x_2 = \frac{-25 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5} = -1.2$

Ответ: $x = -1.2$ или $x = 0.2$.

б)

Решим уравнение $(3x + 10)^2 = 3(x + 10)$.

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 10 + 10^2 = 3x + 30$

$9x^2 + 60x + 100 = 3x + 30$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$9x^2 + 60x - 3x + 100 - 30 = 0$

$9x^2 + 57x + 70 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 57^2 - 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 - 2520 = 729$

Найдем корни уравнения, используя $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$:

$x_1 = \frac{-57 + 27}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-57 - 27}{2 \cdot 9} = \frac{-84}{18} = -\frac{14}{3}$

Ответ: $x = -\frac{14}{3}$ или $x = -\frac{5}{3}$.

в)

Решим уравнение $(3x - 8)^2 = 3x^2 - 8x$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 3x^2 - 8x$

$9x^2 - 48x + 64 = 3x^2 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 3x^2 - 48x + 8x + 64 = 0$

$6x^2 - 40x + 64 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$3x^2 - 20x + 32 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 400 - 384 = 16$

Найдем корни уравнения, используя $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$:

$x_1 = \frac{-(-20) + 4}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 4}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-(-20) - 4}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 4}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Ответ: $x = \frac{8}{3}$ или $x = 4$.

г)

Решим уравнение $(4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x$.

Раскроем скобки в левой части:

$(4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 5x^2 + 4x$

$16x^2 + 40x + 25 = 5x^2 + 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$16x^2 - 5x^2 + 40x - 4x + 25 = 0$

$11x^2 + 36x + 25 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 36^2 - 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 - 1100 = 196$

Найдем корни уравнения, используя $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$:

$x_1 = \frac{-36 + 14}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1$

$x_2 = \frac{-36 - 14}{2 \cdot 11} = \frac{-50}{22} = -\frac{25}{11}$

Ответ: $x = -\frac{25}{11}$ или $x = -1$.

д)

Решим уравнение $(5x + 3)^2 = 5x + 3$.

Это уравнение вида $A^2 = A$. Перенесем все в левую часть:

$(5x + 3)^2 - (5x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x + 3)$ за скобки:

$(5x + 3)((5x + 3) - 1) = 0$

$(5x + 3)(5x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Либо $5x + 3 = 0$, откуда $5x = -3$, и $x = -\frac{3}{5}$.

Либо $5x + 2 = 0$, откуда $5x = -2$, и $x = -\frac{2}{5}$.

Ответ: $x = -\frac{3}{5}$ или $x = -\frac{2}{5}$.

е)

Решим уравнение $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2$.

Это уравнение вида $A^2 = B^2$. Оно равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим первый случай: $A = B$.

$5x + 3 = 3x + 5$

$5x - 3x = 5 - 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Рассмотрим второй случай: $A = -B$.

$5x + 3 = -(3x + 5)$

$5x + 3 = -3x - 5$

$5x + 3x = -5 - 3$

$8x = -8$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$ или $x = 1$.

ж)

Решим уравнение $(4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$.

Это уравнение вида $A^2 = 4B^2$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $A = \pm \sqrt{4B^2}$, то есть $A = \pm 2B$.

Рассмотрим первый случай: $A = 2B$.

$4x + 5 = 2(x + 5)$

$4x + 5 = 2x + 10$

$4x - 2x = 10 - 5$

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Рассмотрим второй случай: $A = -2B$.

$4x + 5 = -2(x + 5)$

$4x + 5 = -2x - 10$

$4x + 2x = -10 - 5$

$6x = -15$

$x = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x = -2.5$ или $x = 2.5$.

з)

Решим уравнение $(2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2$.

Преобразуем левую часть уравнения. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$(2(x + 5))^2 = 4(x + 5)^2$

Возведем в квадрат множитель 2:

$2^2(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

$4(x + 5)^2 = 4(x + 5)^2$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любых значениях переменной $x$.

Ответ: $x$ — любое число.