Номер 658, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 658, страница 152.

658. Выясните, при каких значениях переменной:

а) трёхчлен $a^2 + 7a + 6$ и двучлен $a + 1$ принимают равные значения;

б) трёхчлены $3x^2 - x + 1$ и $2x^2 + 5x - 4$ принимают равные значения.

Найдите эти значения.

а)

Чтобы выяснить, при каких значениях переменной $a$ трёхчлен $a^2 + 7a + 6$ и двучлен $a + 1$ принимают равные значения, необходимо приравнять их и решить полученное уравнение:

$a^2 + 7a + 6 = a + 1$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные члены:

$a^2 + 7a - a + 6 - 1 = 0$

$a^2 + 6a + 5 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Теперь найдём корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, выражения принимают равные значения при $a = -1$ и $a = -5$.

Далее найдём эти значения, подставив найденные корни в одно из исходных выражений (проще всего в $a + 1$).

Если $a = -1$, то значение выражения равно $-1 + 1 = 0$.

Если $a = -5$, то значение выражения равно $-5 + 1 = -4$.

Ответ: при $a = -1$ значение выражений равно $0$; при $a = -5$ значение выражений равно $-4$.

б)

Чтобы выяснить, при каких значениях переменной $x$ трёхчлены $3x^2 - x + 1$ и $2x^2 + 5x - 4$ принимают равные значения, приравняем их и решим уравнение:

$3x^2 - x + 1 = 2x^2 + 5x - 4$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные члены:

$3x^2 - 2x^2 - x - 5x + 1 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $6$, а их произведение равно $5$. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Для проверки решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, выражения равны при $x = 1$ и $x = 5$.

Теперь найдём эти равные значения. Подставим $x = 1$ в первое выражение:

$3(1)^2 - 1 + 1 = 3 - 1 + 1 = 3$.

Подставим $x = 5$ в первое выражение:

$3(5)^2 - 5 + 1 = 3 \cdot 25 - 5 + 1 = 75 - 4 = 71$.

Ответ: при $x = 1$ значение выражений равно $3$; при $x = 5$ значение выражений равно $71$.