Номер 652, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 652, страница 151.

652. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:

а) $a^2 + 4a + 11;$

б) $\frac{x^2 - 2x + 7}{19};$

в) $m^2 - 4m + 51;$

г) $\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1};$

д) $2b^2 - 8b + 20;$

е) $\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}.$

а) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + 4a + 11$ положительно при любом значении $a$, выделим в нем полный квадрат. Формула полного квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде:

$a^2 + 4a + 11 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 4 + 7 = (a^2 + 4a + 4) + 7$

Свернем первые три слагаемых по формуле квадрата суммы:

$(a+2)^2 + 7$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(a+2)^2 \ge 0$ при любом $a$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(a+2)^2$ равно 0. Тогда наименьшее значение всего выражения будет $0 + 7 = 7$.

Поскольку $7 > 0$, то и все выражение $(a+2)^2 + 7$ всегда будет больше нуля.

Ответ: Выражение $a^2 + 4a + 11 = (a+2)^2 + 7$, а так как $(a+2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения равно 7, что доказывает его положительность при любом $a$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 2x + 7}{19}$. Знаменатель дроби, 19, является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, необходимо доказать, что числитель $x^2 - 2x + 7$ также всегда положителен.

Выделим полный квадрат в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$x^2 - 2x + 7 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1 + 6 = (x^2 - 2x + 1) + 6$

Свернем первые три слагаемых:

$(x-1)^2 + 6$

Так как $(x-1)^2 \ge 0$ при любом значении $x$, то наименьшее значение числителя равно $0 + 6 = 6$.

Поскольку числитель всегда больше или равен 6 (то есть положителен), а знаменатель равен 19 (положителен), то их частное всегда будет положительным.

Ответ: Числитель дроби $x^2 - 2x + 7 = (x-1)^2 + 6 \ge 6 > 0$, знаменатель 19 > 0, следовательно, вся дробь положительна при любом $x$.

в) Для выражения $m^2 - 4m + 51$ выделим полный квадрат:

$m^2 - 4m + 51 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 4 + 47 = (m^2 - 4m + 4) + 47$

Свернем по формуле квадрата разности:

$(m-2)^2 + 47$

Выражение $(m-2)^2$ всегда неотрицательно: $(m-2)^2 \ge 0$.

Значит, наименьшее значение всего выражения достигается при $m=2$ и равно $0 + 47 = 47$.

Так как $47 > 0$, выражение $m^2 - 4m + 51$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $m^2 - 4m + 51 = (m-2)^2 + 47 \ge 47 > 0$, что доказывает его положительность при любом $m$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1}$.

Сначала проанализируем знаменатель $p^2 + 1$. Так как $p^2 \ge 0$ для любого $p$, то $p^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Знаменатель всегда положителен.

Теперь проанализируем числитель $p^2 - 6p + 18$. Выделим в нем полный квадрат:

$p^2 - 6p + 18 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 3 + 9 + 9 = (p^2 - 6p + 9) + 9$

Свернем по формуле квадрата разности:

$(p-3)^2 + 9$

Так как $(p-3)^2 \ge 0$, то наименьшее значение числителя равно $0 + 9 = 9$. Числитель всегда положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель всегда положительны, их частное также всегда будет положительным.

Ответ: Числитель $(p-3)^2 + 9 \ge 9 > 0$, знаменатель $p^2 + 1 \ge 1 > 0$. Частное двух положительных выражений всегда положительно.

д) Для доказательства положительности выражения $2b^2 - 8b + 20$ вынесем общий множитель 2 за скобки, а затем выделим полный квадрат.

$2b^2 - 8b + 20 = 2(b^2 - 4b + 10)$

Рассмотрим выражение в скобках $b^2 - 4b + 10$:

$b^2 - 4b + 10 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 4 + 6 = (b^2 - 4b + 4) + 6$

Сворачиваем в квадрат разности:

$(b-2)^2 + 6$

Так как $(b-2)^2 \ge 0$, то $(b-2)^2 + 6 \ge 0 + 6 = 6$. Выражение в скобках всегда положительно.

Исходное выражение равно $2((b-2)^2 + 6)$. Его наименьшее значение будет $2 \cdot 6 = 12$.

Так как $12 > 0$, выражение $2b^2 - 8b + 20$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $2b^2 - 8b + 20 = 2((b-2)^2 + 6) \ge 2 \cdot 6 = 12 > 0$, следовательно, оно всегда положительно.

е) Рассмотрим дробное выражение $\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}$.

Проанализируем числитель $2c^2 + 3$. Поскольку $c^2 \ge 0$ для любого $c$, то $2c^2 \ge 0$. Следовательно, $2c^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Числитель всегда положителен.

Теперь проанализируем знаменатель $c^2 + 12c + 40$. Выделим в нем полный квадрат:

$c^2 + 12c + 40 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 36 + 4 = (c^2 + 12c + 36) + 4$

Свернем по формуле квадрата суммы:

$(c+6)^2 + 4$

Так как $(c+6)^2 \ge 0$, то наименьшее значение знаменателя равно $0 + 4 = 4$. Знаменатель всегда положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель всегда положительны, то их частное также всегда будет положительным.

Ответ: Числитель $2c^2 + 3 \ge 3 > 0$, знаменатель $c^2 + 12c + 40 = (c+6)^2 + 4 \ge 4 > 0$. Частное двух положительных выражений всегда положительно.