Номер 646, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 646, страница 151.

646. Выясните, при каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения

$$x^2 - ax + a - 3 = 0$$

принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 - ax + a - 3 = 0$.

Чтобы уравнение имело корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 3) = a^2 - 4a + 12$.

Чтобы определить знак этого выражения, рассмотрим его как квадратичную функцию $f(a) = a^2 - 4a + 12$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $a_v = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Значение в вершине $f(2) = 2^2 - 4(2) + 12 = 4 - 8 + 12 = 8$.

Поскольку минимальное значение дискриминанта равно 8, что больше нуля, дискриминант положителен при любом значении параметра $a$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Нам нужно найти наименьшее значение суммы их квадратов, то есть $x_1^2 + x_2^2$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для нашего уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-a)/1 = a$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = (a-3)/1 = a - 3$

Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета, чтобы получить зависимость суммы квадратов от параметра $a$:

$S(a) = (a)^2 - 2(a - 3) = a^2 - 2a + 6$.

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции $S(a) = a^2 - 2a + 6$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Координата вершины по оси $a$ находится по формуле $a_{вершины} = - \frac{b}{2a_{коэфф}}$, где $b$ и $a_{коэфф}$ - коэффициенты параболы $S(a)$.

$a_{вершины} = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Следовательно, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Найдем это наименьшее значение, подставив $a=1$ в функцию $S(a)$:

$S_{min} = S(1) = 1^2 - 2(1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5$.

Ответ: Сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a = 1$, и это значение равно 5.