Номер 644, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 644, страница 151.

644. Решите относительно $x$ уравнение:

а) $x^2 - 5ax + 4a^2 = 0;$

б) $3x^2 - 10ax + 3a^2 = 0.$

а) $x^2 - 5ax + 4a^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения (где $A$ - коэффициент при $x^2$, $B$ - при $x$, $C$ - свободный член) равны:

$A = 1$, $B = -5a$, $C = 4a^2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2) = 25a^2 - 16a^2 = 9a^2$.

Так как $a^2$ всегда больше или равно нулю, дискриминант $D = 9a^2$ также всегда неотрицателен ($D \ge 0$). Это означает, что уравнение имеет действительные корни при любом значении параметра $a$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5a) \pm \sqrt{9a^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5a \pm 3a}{2}$.

Теперь найдем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{5a + 3a}{2} = \frac{8a}{2} = 4a$.

$x_2 = \frac{5a - 3a}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Ответ: $x_1 = a$, $x_2 = 4a$.

б) $3x^2 - 10ax + 3a^2 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$. Решим его аналогичным способом, найдя дискриминант. Коэффициенты уравнения:

$A = 3$, $B = -10a$, $C = 3a^2$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-10a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (3a^2) = 100a^2 - 36a^2 = 64a^2$.

Дискриминант $D = 64a^2$ всегда неотрицателен, следовательно, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-10a) \pm \sqrt{64a^2}}{2 \cdot 3} = \frac{10a \pm 8a}{6}$.

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{10a + 8a}{6} = \frac{18a}{6} = 3a$.

$x_2 = \frac{10a - 8a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$.

Ответ: $x_1 = 3a$, $x_2 = \frac{a}{3}$.