Номер 643, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Уравнения с параметром. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 643, страница 150.

643. Решите уравнение с параметром b:

$2x^2 - 4x + b = 0.$

Данное уравнение $2x^2 - 4x + b = 0$ является квадратным уравнением относительно переменной $x$. Количество и вид его корней зависят от значения параметра $b$. Для анализа решим его как стандартное квадратное уравнение $ax^2 + kx + c = 0$, где коэффициенты равны $a=2$, $k=-4$ и $c=b$.

Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Вычислим дискриминант по формуле $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 16 - 8b$.

Далее рассмотрим три возможных случая в зависимости от знака дискриминанта.

1. Если дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем, при каких значениях $b$ это условие выполняется:

$16 - 8b > 0$

$16 > 8b$

$b < 2$

При $b < 2$ корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 8b}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4}$.

Упростим это выражение: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 - 2b)}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{4 - 2b}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$.

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Найдем соответствующее значение $b$:

$16 - 8b = 0$

$8b = 16$

$b = 2$

При $b = 2$ корень уравнения равен $x = \frac{-k}{2a}$:

$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

3. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Найдем, при каких значениях $b$ это происходит:

$16 - 8b < 0$

$16 < 8b$

$b > 2$

Таким образом, при $b > 2$ у уравнения нет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: если $b < 2$, то уравнение имеет два корня $x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$; если $b = 2$, то уравнение имеет один корень $x = 1$; если $b > 2$, то уравнение не имеет действительных корней.