Номер 659, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 659, страница 152.

659. При каком значении $a$ один из корней уравнения $ax^2 - 3x - 5 = 0$ равен 1? Найдите, чему равен при этом значении $a$ второй корень.

При каком значении $a$ один из корней уравнения $ax^2 - 3x - 5 = 0$ равен 1?

По условию, один из корней уравнения $x_1 = 1$. Это означает, что если подставить значение $x=1$ в уравнение, то оно обратится в верное числовое равенство.

Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$a \cdot (1)^2 - 3 \cdot 1 - 5 = 0$

Выполним вычисления:

$a \cdot 1 - 3 - 5 = 0$

$a - 8 = 0$

Отсюда находим значение параметра $a$:

$a = 8$

Ответ: $a = 8$.

Найдите, чему равен при этом значении $a$ второй корень.

Теперь, когда мы определили значение $a$, мы можем записать уравнение в окончательном виде. Подставим $a=8$ в исходное уравнение:

$8x^2 - 3x - 5 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Для нахождения второго корня ($x_2$) можно воспользоваться теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае коэффициенты равны $A=8$, $B=-3$, $C=-5$. Один из корней известен: $x_1=1$.

Проще всего использовать формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

$1 \cdot x_2 = \frac{-5}{8}$

$x_2 = -\frac{5}{8}$

Для проверки можно также использовать формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$

$1 + (-\frac{5}{8}) = -(\frac{-3}{8})$

$\frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

$\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$

Равенство выполняется, следовательно, второй корень найден верно.

Ответ: второй корень равен $-\frac{5}{8}$.