Номер 6, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби - номер 6, страница 8.

Условие.

6. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную $a$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 19:

2) все числа, кроме 0 и 30:

3) все числа, кроме 1; 1,5; 2; 2,5:

4) все числа:

Решение.

1) все числа, кроме 19:

Допустимые значения рациональной дроби — это все значения переменной, при которых ее знаменатель не равен нулю. Чтобы из области допустимых значений было исключено только число 19, знаменатель должен обращаться в ноль при $a = 19$. Простейшее выражение, удовлетворяющее этому условию, это $a - 19$. В качестве числителя можно взять любое число, отличное от нуля, например, 1.

Ответ: $\frac{1}{a-19}$

2) все числа, кроме 0 и 30:

Чтобы исключить из допустимых значений числа 0 и 30, знаменатель дроби должен быть равен нулю при $a = 0$ и при $a = 30$. Это значит, что многочлен в знаменателе должен иметь корни 0 и 30. Следовательно, он должен содержать множители $(a - 0)$, то есть $a$, и $(a - 30)$. В качестве знаменателя можно взять их произведение: $a(a - 30)$. Числитель может быть любым числом, например, 1.

Ответ: $\frac{1}{a(a-30)}$

3) все числа, кроме 1; 1,5; 2; 2,5:

Аналогично предыдущим пунктам, знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $a = 1$, $a = 1,5$, $a = 2$ и $a = 2,5$. Для этого в знаменателе должны содержаться множители $(a - 1)$, $(a - 1,5)$, $(a - 2)$ и $(a - 2,5)$. Составим знаменатель как произведение этих множителей. В качестве числителя возьмем 1.

Ответ: $\frac{1}{(a-1)(a-1,5)(a-2)(a-2,5)}$

4) все числа:

Если допустимыми значениями являются все числа, то знаменатель дроби не должен обращаться в ноль ни при каких значениях переменной $a$. По условию, дробь должна содержать переменную $a$. Мы можем использовать в знаменателе выражение, которое всегда положительно, например, $a^2 + 1$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то $a^2 + 1 \ge 1$, и, следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. Переменная $a$ уже содержится в знаменателе, поэтому в числитель можно поставить 1.

Ответ: $\frac{1}{a^2+1}$