Номер 2, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\frac{x - y}{y} + \frac{y}{x + y}$

Решение:

1. Находим общий знаменатель для дробей. Знаменатели $y$ и $(x + y)$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель равен их произведению: $y(x + y)$.

2. Находим дополнительные множители: для первой дроби это $(x + y)$, для второй дроби — $y$.

3. Приводим дроби к общему знаменателю и выполняем сложение:

$$\frac{x - y}{y} + \frac{y}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y) + y \cdot y}{y(x + y)}$$

4. Применяем в числителе формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и упрощаем:

$$\frac{x^2 - y^2 + y^2}{y(x + y)} = \frac{x^2}{y(x + y)}$$

Ответ: $\frac{x^2}{y(x + y)}$ (или $\frac{x^2}{xy + y^2}$)

б) $\frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3}$

Решение:

1. Находим общий знаменатель дробей. Для выражений $(b - 3)$ и $(b + 3)$ общим знаменателем будет их произведение: $(b - 3)(b + 3)$.

2. Находим дополнительные множители: к первой дроби это $(b + 3)$, ко второй дроби — $(b - 3)$.

3. Записываем выражение под одной дробной чертой:

$$\frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} = \frac{b(b + 3) - b(b - 3)}{(b - 3)(b + 3)}$$

4. Раскрываем скобки в числителе (обращая внимание на знак «минус» перед вторым слагаемым) и приводим подобные слагаемые:

$$\frac{b^2 + 3b - (b^2 - 3b)}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 3b - b^2 + 3b}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{6b}{(b - 3)(b + 3)}$$

В знаменателе можно свернуть формулу разности квадратов: $(b - 3)(b + 3) = b^2 - 9$.

$$\frac{6b}{b^2 - 9}$$

Ответ: $\frac{6b}{(b - 3)(b + 3)}$ (или $\frac{6b}{b^2 - 9}$)