Номер 4, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Для упрощения данных выражений применим свойство арифметического квадратного корня: для любого действительного числа $t$ справедливо тождество $\sqrt{t^2} = |t|$. По определению модуля числа:

$|t| = \begin{cases} t, & \text{если } t \ge 0; \\ -t, & \text{если } t < 0. \end{cases}$

а) $\sqrt{b^2}$, если $b \ge 0$;

Применяем тождество: $\sqrt{b^2} = |b|$. Так как по условию $b \ge 0$, то модуль раскрывается со знаком «плюс»: $|b| = b$.
Следовательно, $\sqrt{b^2} = b$.

б) $\sqrt{16x^2}$, если $x < 0$;

Преобразуем подкоренное выражение, используя равенство $16x^2 = (4x)^2$:
$\sqrt{16x^2} = \sqrt{(4x)^2} = |4x| = 4|x|$.
Так как по условию $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.
Тогда получаем: $4|x| = 4 \cdot (-x) = -4x$.

в) $-3\sqrt{0{,}16a^2}$, если $a \ge 0$.

Представим выражение под корнем в виде квадрата: $0{,}16a^2 = (0{,}4a)^2$.
Вычисляем значение корня: $\sqrt{0{,}16a^2} = \sqrt{(0{,}4a)^2} = |0{,}4a| = 0{,}4|a|$.
Так как по условию $a \ge 0$, модуль раскрывается без изменения знака: $|a| = a$.
Подставим результат в исходное выражение:
$-3\sqrt{0{,}16a^2} = -3 \cdot 0{,}4a = -1{,}2a$.

Ответ:
а) $b$;
б) $-4x$;
в) $-1{,}2a$.