Номер 3, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Для того чтобы найти наименьшее значение квадратного трёхчлена $2x^2 - 8x + 12$, выделим полный квадрат двучлена.

Вынесем коэффициент $2$ за скобки у первых двух слагаемых:

$$2x^2 - 8x + 12 = 2(x^2 - 4x) + 12$$

Дополним выражение внутри скобок до точного квадрата разности вида $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого прибавим и вычтем $4$:

$$2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 12 = 2((x - 2)^2 - 4) + 12$$

Раскроем скобки:

$$2(x - 2)^2 - 2 \cdot 4 + 12 = 2(x - 2)^2 - 8 + 12 = 2(x - 2)^2 + 4$$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$, наименьшее значение выражения $2(x - 2)^2$ равно $0$ (оно достигается при $x = 2$).

Следовательно, наименьшее значение всего трёхчлена равно:

$$2 \cdot 0 + 4 = 4$$

Ответ: $4$