номер 2, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Решение:

Чтобы сократить дробь, разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

$$\frac{2x^2 + x - 15}{x^2 + 6x + 9}$$

1) Разложим знаменатель дроби:
Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$

2) Разложим числитель дроби:
Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 15 = 0$ через дискриминант:

$$a = 2,\quad b = 1,\quad c = -15$$

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2{,}5 = \frac{5}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$$

Используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$$2x^2 + x - 15 = 2 \cdot \left(x - \frac{5}{2}\right)(x - (-3)) = (2x - 5)(x + 3)$$

3) Подставим полученные множители в исходную дробь и сократим ее:

$$\frac{2x^2 + x - 15}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(2x - 5)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \frac{2x - 5}{x + 3}$$

Ответ: $\frac{2x - 5}{x + 3}$ (при $x \neq -3$)