номер 3, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

3.Решение:

Рассмотрим квадратный трёхчлен $-3x^2 - 6x + 9$. Задачу можно решить двумя способами, изученными в 8 классе.

Способ 1 (выделение полного квадрата):

Вынесем коэффициент $-3$ за скобки у слагаемых, содержащих переменную $x$:

$$-3x^2 - 6x + 9 = -3(x^2 + 2x) + 9$$

Дополним выражение в скобках до формулы квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, прибавив и вычтя $1$:

$$-3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 9 = -3((x + 1)^2 - 1) + 9$$

Раскроем внешние скобки:

$$-3(x + 1)^2 + 3 + 9 = -3(x + 1)^2 + 12$$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x + 1)^2 \ge 0$, то выражение $-3(x + 1)^2 \le 0$. Следовательно, наибольшее значение достигается при $x + 1 = 0$ (то есть при $x = -1$) и равно $12$.

Способ 2 (через вершину параболы):

Графиком квадратичной функции $y = -3x^2 - 6x + 9$ является парабола с коэффициентами $a = -3$, $b = -6$, $c = 9$.

Так как старший коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, а значит, наибольшее значение функция принимает в своей вершине.

Найдём абсциссу вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$$

Найдём ординату вершины (наибольшее значение трёхчлена):

$$y_0 = -3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) + 9 = -3 \cdot 1 + 6 + 9 = -3 + 6 + 9 = 12$$

Ответ: $12$