Номер 1, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\frac{x^2}{x-3} = \frac{5x}{x-3}$

Решение:

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

2. Так как знаменатели дробей одинаковы, приравняем их числители:
$x^2 = 5x$
Перенесём слагаемое $5x$ в левую часть:
$x^2 - 5x = 0$

3. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

4. Проверим ОДЗ: оба корня ($x = 0$ и $x = 5$) не равны $3$, значит, оба являются решениями уравнения.

Ответ: $0$; $5$.

б) $\frac{x^2}{x^2-1} = \frac{4-3x}{x^2-1}$

Решение:

1. Найдём ОДЗ:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.

2. Приравняем числители дробей:
$x^2 = 4 - 3x$
Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 3x - 4 = 0$

3. Найдём корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$$x_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$
$$x_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

4. Проверим корни по ОДЗ:
Корень $x_1 = 1$ не подходит, так как при нём знаменатель обращается в ноль ($x \neq 1$) — это посторонний корень.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию.

Ответ: $-4$.

в) $\frac{8}{6-x} = x$

Решение:

1. Найдём ОДЗ:
$6 - x \neq 0 \implies x \neq 6$.

2. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(6 - x)$:
$8 = x(6 - x)$
Раскроем скобки:
$8 = 6x - x^2$

3. Перенесём все члены в левую часть:
$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 8$
Отсюда находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

4. Проверим ОДЗ: оба корня не равны $6$, следовательно, они подходят.

Ответ: $2$; $4$.

г) $\frac{9}{5-4x} = x+2$

Решение:

1. Найдём ОДЗ:
$5 - 4x \neq 0 \implies 4x \neq 5 \implies x \neq 1{,}25$.

2. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(5 - 4x)$:
$9 = (x + 2)(5 - 4x)$
Раскроем скобки в правой части:
$9 = 5x - 4x^2 + 10 - 8x$
$9 = -4x^2 - 3x + 10$

3. Перенесём все слагаемые в левую часть:
$4x^2 + 3x + 9 - 10 = 0$
$4x^2 + 3x - 1 = 0$

4. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$$x_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = 0{,}25$$
$$x_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$$

5. Проверим ОДЗ: оба полученных корня ($0{,}25$ и $-1$) не равны $1{,}25$, то есть оба являются решениями.

Ответ: $-1$; $0{,}25$.