Номер 2, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Примем всю выполненную работу за $1$.

Пусть мастеру для выполнения всей работы в отдельности требуется $x$ дней (где $x > 0$).
Тогда ученику на выполнение этой же работы потребуется $(x + 12)$ дней.

Найдем производительность каждого работника (какую часть работы они выполняют за 1 день):

• $\frac{1}{x}$ — часть работы, которую выполняет мастер за $1$ день;
• $\frac{1}{x + 12}$ — часть работы, которую выполняет ученик за $1$ день.

Работая вместе, мастер и ученик выполняют всю работу за $8$ дней, то есть за $1$ день их совместная производительность составляет $\frac{1}{8}$ всей работы.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{1}{8}$$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$$\frac{x + 12 + x}{x(x + 12)} = \frac{1}{8}$$

$$\frac{2x + 12}{x^2 + 12x} = \frac{1}{8}$$

Используем свойство пропорции (при условии $x \neq 0$ и $x \neq -12$):

$$x^2 + 12x = 8(2x + 12)$$

$$x^2 + 12x = 16x + 96$$

$$x^2 - 4x - 96 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 = 20^2$$

$$x_1 = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$x_2 = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Корень $x = -8$ не подходит по условию задачи, так как время работы не может выражаться отрицательным числом.

Следовательно, мастер может выполнить всю работу за $12$ дней.

Найдем время работы ученика:
$12 + 12 = 24$ (дня).

Ответ: мастер может выполнить работу за $12$ дней, а ученик — за $24$ дня.