Номер 2, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Для системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида:

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

число решений определяется соотношением их коэффициентов:
• система имеет единственное решение, если прямые пересекаются: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$;
• система не имеет решений, если прямые параллельны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$;
• система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Для уравнения прямой $l$: $x + 3y = 4$ коэффициенты равны: $a_1 = 1$, $b_1 = 3$, $c_1 = 4$.

Проверим каждое из предложенных уравнений:

1. $x - 3y = 4$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$, а $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-3} = -1$. Так как $1 \neq -1$, система имеет единственное решение.

2. $\frac{2}{3}x + 6y = 0$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$, а $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{3}{2} \neq \frac{1}{2}$, система имеет единственное решение.

3. $y + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3} \iff \frac{1}{3}x + y = \frac{4}{3}$:
Умножим обе части уравнения на $3$, получим $x + 3y = 4$. Уравнения полностью совпадают ($\frac{1}{1/3} = \frac{3}{1} = \frac{4}{4/3} = 3$), поэтому система имеет бесконечно много решений.

4. $x + y = 4$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$, а $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$. Так как $1 \neq 3$, система имеет единственное решение.

5. $3x + y = 12$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$, а $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$. Так как $\frac{1}{3} \neq 3$, система имеет единственное решение.

6. $2x - 6y = 5$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$, а $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$, система имеет единственное решение.

7. $0{,}6x + 1{,}8y = 1{,}2$:
Разделим обе части на $0{,}6$, получим $x + 3y = 2$. Здесь коэффициенты при переменных одинаковые, а свободные члены разные ($\frac{1}{0{,}6} = \frac{3}{1{,}8} = \frac{5}{3}$, но $\frac{4}{1{,}2} = \frac{10}{3}$). Прямые параллельны, система не имеет решений.

8. $6y = 3 - 2x \iff 2x + 6y = 3$:
Разделим обе части на $2$, получим $x + 3y = 1{,}5$. Снова $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} \neq \frac{4}{3}$. Прямые параллельны, система не имеет решений.

Ответ:

1) имеющую единственное решение: $x - 3y = 4$; $\frac{2}{3}x + 6y = 0$; $x + y = 4$; $3x + y = 12$; $2x - 6y = 5$.

2) не имеющую решений: $0{,}6x + 1{,}8y = 1{,}2$; $6y = 3 - 2x$.

3) имеющую бесконечно много решений: $y + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}$.