Номер 2, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Выразим переменную $y$ через $x$ для уравнения прямой $m$:

$$2x - y = 6 \implies y = 2x - 6$$

Угловой коэффициент прямой $m$ равен $k_1 = 2$, а свободный член $b_1 = -6$. Для системы из двух линейных уравнений с угловыми коэффициентами $k_1, k_2$ и свободными членами $b_1, b_2$ справедливы условия:
• система имеет единственное решение, если прямые пересекаются, то есть $k_1 \neq k_2$;
• система не имеет решений, если прямые параллельны, то есть $k_1 = k_2$, но $b_1 \neq b_2$;
• система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают, то есть $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

Приведем каждое из предложенных уравнений к виду $y = kx + b$:

• $x - 2y = 6 \implies 2y = x - 6 \implies y = 0,5x - 3$ ($k = 0,5$, $b = -3$). Так как $k \neq 2$, прямые пересекаются.
• $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y = 3 \implies \frac{1}{4}y = \frac{1}{2}x - 3 \implies y = 2x - 12$ ($k = 2$, $b = -12$). Так как $k = 2$, но $b \neq -6$, прямые параллельны.
• $\frac{1}{6}y = \frac{1}{3}x - 2 \implies y = 2x - 12$ ($k = 2$, $b = -12$). Так как $k = 2$, но $b \neq -6$, прямые параллельны.
• $3x + 1,5y = 9 \implies 1,5y = -3x + 9 \implies y = -2x + 6$ ($k = -2$, $b = 6$). Так как $k \neq 2$, прямые пересекаются.
• $2y = 3 - x \implies y = -0,5x + 1,5$ ($k = -0,5$, $b = 1,5$). Так как $k \neq 2$, прямые пересекаются.
• $x - 0,5y = 0 \implies 0,5y = x \implies y = 2x$ ($k = 2$, $b = 0$). Так как $k = 2$, но $b \neq -6$, прямые параллельны.
• $4x + 2y = 3 \implies 2y = -4x + 3 \implies y = -2x + 1,5$ ($k = -2$, $b = 1,5$). Так как $k \neq 2$, прямые пересекаются.
• $0,5y = x - 3 \implies y = 2x - 6$ ($k = 2$, $b = -6$). Уравнение полностью совпадает с уравнением прямой $m$.

Ответ:

1) Имеющую единственное решение: $x - 2y = 6$; $3x + 1,5y = 9$; $2y = 3 - x$; $4x + 2y = 3$.

2) Не имеющую решений: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y = 3$; $\frac{1}{6}y = \frac{1}{3}x - 2$; $x - 0,5y = 0$.

3) Имеющую бесконечно много решений: $0,5y = x - 3$.