Номер 2, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Дано:
$S = 3250\text{ м}^2$
$P = 230\text{ м}$

Найти: стороны участка (длину и ширину).

Решение:

Длина изгороди равна периметру прямоугольного участка. Формула периметра прямоугольника: $$P = 2(a + b)$$ где $a$ и $b$ — длина и ширина участка.

Найдем полупериметр участка: $$a + b = \frac{P}{2} = \frac{230}{2} = 115\text{ м}$$

Пусть длина одной из сторон участка равна $x\text{ м}$, тогда вторая сторона равна $(115 - x)\text{ м}$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Составим уравнение по условию задачи: $$x(115 - x) = 3250$$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$115x - x^2 = 3250$$ $$x^2 - 115x + 3250 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D$): $$D = b^2 - 4ac = (-115)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3250$$ $$D = 13225 - 13000 = 225 = 15^2$$

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 + 15}{2} = \frac{130}{2} = 65$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 - 15}{2} = \frac{100}{2} = 50$$

Если одна сторона участка равна $65\text{ м}$, то вторая равна: $$115 - 65 = 50\text{ м}$$

Оба корня положительные и удовлетворяют смыслу задачи. Таким образом, геометрические размеры участка составляют $65\text{ м}$ и $50\text{ м}$.

Ответ: длина участка равна $65\text{ м}$, ширина участка равна $50\text{ м}$.