Номер 3, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$5b^2 - 10b + 7 > 5b(b - 2)$

Доказательство:

Чтобы доказать неравенство, составим разность между его левой и правой частями и определим её знак:

$$(5b^2 - 10b + 7) - 5b(b - 2)$$

Раскроем скобки в полученном выражении:

$$5b^2 - 10b + 7 - 5b^2 + 10b$$

Приведём подобные слагаемые:

$$(5b^2 - 5b^2) + (-10b + 10b) + 7 = 7$$

Так как число $7 > 0$, разность между левой и правой частями всегда положительна при любых значениях переменной $b$. Значит, исходное неравенство $5b^2 - 10b + 7 > 5b(b - 2)$ верно для любого $b$, что и требовалось доказать.

б)$t(3 - t) < 3t + 5$

Доказательство:

Составим разность между левой и правой частями неравенства:

$$t(3 - t) - (3t + 5)$$

Раскроем скобки:

$$3t - t^2 - 3t - 5$$

Приведём подобные слагаемые:

$$-t^2 - 5$$

Вынесем знак «минус» за скобки:

$$-(t^2 + 5)$$

Проанализируем знак полученного выражения:

• Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $t^2 \ge 0$.
• Если к $t^2$ прибавить положительное число $5$, то значение выражения всегда будет строго больше нуля: $t^2 + 5 \ge 5 > 0$.
• Следовательно, выражение с противоположным знаком $-(t^2 + 5)$ всегда отрицательно, то есть $-(t^2 + 5) \le -5 < 0$ при любом значении переменной $t$.

Так как разность левой и правой частей строго меньше нуля при любых значениях $t$, неравенство $t(3 - t) < 3t + 5$ верно для любого $t$, что и требовалось доказать.