Номер 2, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) Решим систему уравнений методом подстановки:
$$\begin{cases} xy + x^2 = 4, \\ y = x + 2. \end{cases}$$

Так как во втором уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$, подставим выражение $x + 2$ вместо $y$ в первое уравнение системы:

$$x(x + 2) + x^2 = 4$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$x^2 + 2x + x^2 = 4$$
$$2x^2 + 2x - 4 = 0$$

Разделим обе части полученного квадратного уравнения на $2$ для упрощения вычислений:

$$x^2 + x - 2 = 0$$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант ($D$):

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$$

$$x_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$$

Теперь найдем соответствующие значения переменной $y$, подставляя полученные значения $x$ в формулу $y = x + 2$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 2 = 3$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 2 = 0$.

Ответ: $(1; 3)$, $(-2; 0)$.

б) Решим систему уравнений методом сложения:
$$\begin{cases} 2x + y = 3, \\ x^2 - y = 5. \end{cases}$$

Заметим, что коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$). Сложим почленно оба уравнения системы:

$$(2x + y) + (x^2 - y) = 3 + 5$$
$$x^2 + 2x = 8$$

Перенесем слагаемое $8$ в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x - 8 = 0$$

Найдем корни с помощью дискриминанта ($D$):

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$$

$$x_1 = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

Выразим $y$ из первого уравнения системы:
$$y = 3 - 2x$$

Подставим найденные значения $x$ и вычислим значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
Если $x_2 = -4$, то $y_2 = 3 - 2 \cdot (-4) = 3 + 8 = 11$.

Ответ: $(2; -1)$, $(-4; 11)$.