Номер 3, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для вычислений применим определение степени с целым отрицательным показателем: для любого числа $a \neq 0$ и натурального $n$ верно равенство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, а также свойство обратной дроби $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.

а)$2^{-3}$
Решение: по определению отрицательной степени преобразуем выражение в дробь:
$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$ Ответ: $\frac{1}{8}$ (или $0,125$).

б)$(-5)^{-2}$
Решение: возводим основание в отрицательную степень, учитывая, что четная степень отрицательного числа дает положительный результат:
$$(-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}$$ Ответ: $\frac{1}{25}$ (или $0,04$).

в)$(-1)^{-19}$
Решение: показатель степени равен нечетному числу $19$, поэтому знак «минус» сохраняется:
$$(-1)^{-19} = \frac{1}{(-1)^{19}} = \frac{1}{-1} = -1$$ Ответ: $-1$.

г)$\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}$
Решение: используем свойство степени дроби с отрицательным показателем — «переворачиваем» основание:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{4}{1}\right)^3 = 4^3 = 64$$ Ответ: $64$.

д)$\left(1\frac{2}{3}\right)^{-2}$
Решение: сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Затем применим отрицательную степень:
$$\left(1\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$$ Ответ: $\frac{9}{25}$ (или $0,36$).

е)$0,01^{-3}$
Решение: запишем десятичную дробь в виде обыкновенной дроби или степени десятки: $0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
$$\left(\frac{1}{100}\right)^{-3} = 100^3 = 1\,000\,000$$ Или через степени: $(10^{-2})^{-3} = 10^{(-2) \cdot (-3)} = 10^6 = 1\,000\,000$.
Ответ: $1\,000\,000$.