Номер 2, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

а) $\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Для того чтобы сократить эту дробь, разложим числитель и знаменатель на множители:

• Представим число $3$ в числителе как $(\sqrt{3})^2$. Тогда можно вынести за скобки общий множитель $\sqrt{3}$:
  $3 - \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$
• В знаменателе представим корень $\sqrt{6}$ как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{2}$:
  $\sqrt{6} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)$

Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общую скобку $(\sqrt{3} - 1)$:

$$\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

б) $\frac{a - 25}{\sqrt{a} - 5}$

Разложим числитель дроби на множители, применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ при $a \ge 0$ и $a \ne 25$:

• Представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$, а число $25$ как $5^2$:
  $a - 25 = (\sqrt{a})^2 - 5^2 = (\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)$

Подставим разложение в числитель и сократим дробь на выражение $(\sqrt{a} - 5)$:

$$\frac{a - 25}{\sqrt{a} - 5} = \frac{(\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)}{\sqrt{a} - 5} = \sqrt{a} + 5$$

Ответ:

а) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ (или $\sqrt{\frac{3}{2}}$);
б) $\sqrt{a} + 5$.