Номер 2, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

а) Сократим дробь $\frac{6 + \sqrt{6}}{\sqrt{12} + \sqrt{2}}$.

Представим число $6$ в числителе как $(\sqrt{6})^2$, а подкоренное выражение $12$ в знаменателе разложим на множители $6 \cdot 2$:

$$6 + \sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)$$

$$\sqrt{12} + \sqrt{2} = \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{6} + 1)$$

Подставим полученные разложения в дробь и сократим общую скобку $(\sqrt{6} + 1)$:

$$\frac{6 + \sqrt{6}}{\sqrt{12} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{6} + 1)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$$

Используем свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$$

б) Сократим дробь $\frac{\sqrt{b} + 7}{49 - b}$.

Знаменатель дроби можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$. Для этого представим $49$ как $7^2$, а переменную $b$ (при $b \ge 0$) как $(\sqrt{b})^2$:

$$49 - b = 7^2 - (\sqrt{b})^2 = (7 - \sqrt{b})(7 + \sqrt{b})$$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, числитель $\sqrt{b} + 7$ равен $7 + \sqrt{b}$. Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель $(7 + \sqrt{b})$:

$$\frac{\sqrt{b} + 7}{49 - b} = \frac{7 + \sqrt{b}}{(7 - \sqrt{b})(7 + \sqrt{b})} = \frac{1}{7 - \sqrt{b}}$$

Ответ:

а) $\sqrt{3}$;

б) $\frac{1}{7 - \sqrt{b}}$.