Номер 2, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{30} - \sqrt{6}}$

Решение:

Представим число $5$ в числителе как $(\sqrt{5})^2$, а подкоренное число $30$ в знаменателе разложим на множители: $30 = 6 \cdot 5$, откуда $\sqrt{30} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{5}$.

Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе:

В числителе выносим $\sqrt{5}$:

$$5 - \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)$$

В знаменателе выносим $\sqrt{6}$:

$$\sqrt{30} - \sqrt{6} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{5} - 1)$$

Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(\sqrt{5} - 1)$:

$$\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{30} - \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{6}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ (или $\frac{\sqrt{30}}{6}$)

б) $\frac{a - 64}{8 + \sqrt{a}}$

Решение:

По определению арифметического квадратного корня при $a \ge 0$ число $a$ можно представить в виде $(\sqrt{a})^2$, а число $64$ — в виде $8^2$.

Разложим числитель дроби на множители, применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$$a - 64 = (\sqrt{a})^2 - 8^2 = (\sqrt{a} - 8)(\sqrt{a} + 8)$$

Знаменатель дроби от перестановки слагаемых не меняется: $8 + \sqrt{a} = \sqrt{a} + 8$.

Подставим разложение в исходную дробь и сократим её на выражение $(\sqrt{a} + 8)$:

$$\frac{a - 64}{8 + \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 8)(\sqrt{a} + 8)}{\sqrt{a} + 8} = \sqrt{a} - 8$$

Ответ: $\sqrt{a} - 8$