номер 2, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)Решение:

Заметим, что число $7$ можно представить в виде квадрата квадратного корня: $7 = (\sqrt{7})^2$, а корень в знаменателе разложить на множители: $\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}$.

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе дроби:

• В числителе вынесем $\sqrt{7}$: $7 + \sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{7} + 1)$
• В знаменателе вынесем $\sqrt{2}$: $\sqrt{14} + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{7} + 1)$

Подставим получившиеся выражения в дробь и сократим на общий множитель $(\sqrt{7} + 1)$:

$$\frac{7 + \sqrt{7}}{\sqrt{14} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} + 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{7} + 1)} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}$ (или $\sqrt{\frac{7}{2}}$)

б)Решение:

Так как переменная $b$ находится под знаком корня, выражение имеет смысл при $b \ge 0$.

Представим число $81$ как $9^2$, а число $b$ как $(\sqrt{b})^2$. Тогда в числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$:

$$81 - b = 9^2 - (\sqrt{b})^2 = (9 - \sqrt{b})(9 + \sqrt{b})$$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то $(9 + \sqrt{b}) = (\sqrt{b} + 9)$. Запишем дробь и сократим её на выражение $(\sqrt{b} + 9)$:

$$\frac{81 - b}{\sqrt{b} + 9} = \frac{(9 - \sqrt{b})(\sqrt{b} + 9)}{\sqrt{b} + 9} = 9 - \sqrt{b}$$

Ответ: $9 - \sqrt{b}$