номер 3, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Дано:
Квадратное уравнение: $x^2 - 6x + q = 0$
Первый корень: $x_1 = 3 + \sqrt{5}$

Найти: $x_2$, $q$

Решение:

Уравнение $x^2 - 6x + q = 0$ является приведенным квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент $p = -6$, а свободный член равен $q$.

По теореме Виета сумма и произведение корней приведенного квадратного уравнения связаны с его коэффициентами следующими соотношениями: $$x_1 + x_2 = -p$$ $$x_1 \cdot x_2 = q$$

1.Найдем второй корень уравнения $x_2$.
Так как $-p = -(-6) = 6$, подставим известный корень $x_1$ в формулу суммы: $$(3 + \sqrt{5}) + x_2 = 6$$ $$x_2 = 6 - (3 + \sqrt{5})$$ $$x_2 = 6 - 3 - \sqrt{5}$$ $$x_2 = 3 - \sqrt{5}$$

2.Найдем коэффициент $q$.
Подставим оба найденных корня в формулу произведения и применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$q = x_1 \cdot x_2 = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})$$ $$q = 3^2 - (\sqrt{5})^2$$ $$q = 9 - 5$$ $$q = 4$$

Ответ: другой корень равен $3 - \sqrt{5}$, коэффициент $q = 4$.