Номер 1, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $5x^2 + 14x - 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a = 5$, $b = 14$, $c = -3$.

Найдем дискриминант уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$$D = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0{,}2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-30}{10} = -3$$

Ответ: $-3$; $0{,}2$.

б) $9x^2 - 25 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$$9x^2 = 25$$

Разделим обе части на $9$:

$$x^2 = \frac{25}{9}$$

Извлечем квадратный корень:

$$x = \pm\sqrt{\frac{25}{9}}$$

$$x_1 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}, \quad x_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$$

Ответ: $-1\frac{2}{3}$; $1\frac{2}{3}$.

в) $9x^2 = 63x$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем слагаемое $63x$ в левую часть, чтобы справа остался нуль:

$$9x^2 - 63x = 0$$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$$9x(x - 7) = 0$$

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$9x = 0 \implies x_1 = 0$$

$$x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$$

Ответ: $0$; $7$.

г) $(x + 3)^2 - 2(x + 3) - 15 = 0$

Решим уравнение методом введения новой переменной. Пусть выражение $(x + 3) = t$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$$t^2 - 2t - 15 = 0$$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = -15$. Найдем дискриминант:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$$

Найдем значения $t$:

$$t_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Выполним обратную замену:

1) При $t = 5$:

$$x + 3 = 5 \implies x_1 = 5 - 3 = 2$$

2) При $t = -3$:

$$x + 3 = -3 \implies x_2 = -3 - 3 = -6$$

Ответ: $-6$; $2$.