Номер 2, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$$\frac{x^2}{x+2} = \frac{3x - 2}{x+2}$$

Решение:

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

2. Так как знаменатели у обеих частей уравнения одинаковые, приравниваем числители:
$$x^2 = 3x - 2$$

Перенесём все слагаемые в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

Найдём дискриминант:
$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$
$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

3. Проверим корни по ОДЗ: оба корня $x = 1$ и $x = 2$ не равны $-2$, следовательно, подходят.

Ответ: $1; 2$.

б)$$\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 9} = \frac{2}{x + 3}$$

Решение:

1. Разложим знаменатель левой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Найдём ОДЗ:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$;
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

2. Перенесём дробь из правой части в левую и приведём к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:
$$\frac{x^2 + 4x - 21}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{2}{x + 3} = 0$$
$$\frac{x^2 + 4x - 21 - 2(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 0$$
$$\frac{x^2 + 4x - 21 - 2x + 6}{(x - 3)(x + 3)} = 0$$
$$\frac{x^2 + 2x - 15}{(x - 3)(x + 3)} = 0$$

3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
$$x^2 + 2x - 15 = 0$$

Найдём дискриминант:
$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$$
$$x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
$$x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

4. Проверим полученные корни по ОДЗ:
$x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), поэтому является посторонним корнем.
$x = -5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-5$.