Номер 4, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

4.Решение:

Пусть скорость течения реки равна $x\text{ км/ч}$. Так как лодка может двигаться против течения, собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения реки, то есть $0 < x < 8$.

Тогда:

• Скорость лодки против течения реки равна $(8 - x)\text{ км/ч}$.
• Скорость лодки по течению реки (на обратном пути) равна $(8 + x)\text{ км/ч}$.
• Время движения против течения реки составляет $\frac{60}{8 - x}\text{ ч}$.
• Время движения по течению реки составляет $\frac{60}{8 + x}\text{ ч}$.

По условию задачи, на обратный путь лодка затратила на $4$ часа меньше, чем на путь против течения. Составим и решим уравнение:

$$\frac{60}{8 - x} - \frac{60}{8 + x} = 4$$

Разделим обе части уравнения на $4$ для упрощения вычислений:

$$\frac{15}{8 - x} - \frac{15}{8 + x} = 1$$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(8 - x)(8 + x)$:

$$\frac{15(8 + x) - 15(8 - x)}{(8 - x)(8 + x)} = 1$$

$$\frac{120 + 15x - 120 + 15x}{64 - x^2} = 1$$

$$\frac{30x}{64 - x^2} = 1$$

Умножим обе части уравнения на $(64 - x^2)$ при условии, что $x \neq 8$ и $x \neq -8$:

$$30x = 64 - x^2$$

Перенесём все слагаемые в левую часть и запишем квадратное уравнение в стандартном виде:

$$x^2 + 30x - 64 = 0$$

Найдём корни уравнения через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 900 + 256 = 1156 = 34^2$$

$$x_1 = \frac{-30 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-30 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$$

Корень $x_2 = -32$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость течения реки не может быть отрицательной. Следовательно, скорость течения реки равна $2\text{ км/ч}$.

Ответ: $2\text{ км/ч}$.