номер 1, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для разложения квадратного трёхчлена на линейные множители воспользуемся формулой:
$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$ где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а)$a^2 + a - 42$

Приравняем квадратный трёхчлен к нулю и найдём его корни:
$$a^2 + a - 42 = 0$$

Найдём дискриминант уравнения:
$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$$

Вычислим корни:
$$a_1 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$$
$$a_2 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$$

(Также корни можно было подобрать по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -1$, $a_1 \cdot a_2 = -42$, откуда $a_1 = 6$, $a_2 = -7$).

Подставим полученные корни в формулу разложения (здесь коэффициент при старшей степени равен $1$):
$$a^2 + a - 42 = (a - 6)(a - (-7)) = (a - 6)(a + 7)$$

Ответ: $(a - 6)(a + 7)$

б)$6x^2 + x - 22$

Приравняем трёхчлен к нулю:
$$6x^2 + x - 22 = 0$$

Найдём дискриминант:
$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-22) = 1 + 528 = 529 = 23^2$$

Найдём корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 6} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$$
$$x_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 6} = \frac{-24}{12} = -2$$

Применим формулу разложения на множители, учитывая, что старший коэффициент равен $6$:
$$6x^2 + x - 22 = 6\left(x - \frac{11}{6}\right)(x - (-2)) = 6\left(x - \frac{11}{6}\right)(x + 2)$$

Внесём множитель $6$ в первую скобку, чтобы избавиться от дроби:
$$6 \cdot \left(x - \frac{11}{6}\right)(x + 2) = (6x - 11)(x + 2)$$

Ответ: $(6x - 11)(x + 2)$