Номер 1, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, воспользуемся формулой $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

а) $x^2 - 14x + 45$

Решение:
Приравняем трёхчлен к нулю и найдём его корни через дискриминант:
$$x^2 - 14x + 45 = 0$$

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -14$, $c = 45$.
$$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16 = 4^2$$

Находим корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$$

Подставляем корни в формулу разложения на множители ($a = 1$):
$$x^2 - 14x + 45 = (x - 9)(x - 5)$$

Ответ: $(x - 9)(x - 5)$

б) $3y^2 + 7y - 6$

Решение:
Приравняем трёхчлен к нулю:
$$3y^2 + 7y - 6 = 0$$

Здесь коэффициенты: $a = 3$, $b = 7$, $c = -6$.
$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$$

Находим корни уравнения:
$$y_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
$$y_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$$

Применяем формулу разложения на множители ($a = 3$):
$$3y^2 + 7y - 6 = 3\left(y - \frac{2}{3}\right)(y - (-3)) = 3\left(y - \frac{2}{3}\right)(y + 3)$$

Внесём множитель $3$ в первую скобку, чтобы избавиться от дроби:
$$3\left(y - \frac{2}{3}\right)(y + 3) = (3y - 2)(y + 3)$$

Ответ: $(3y - 2)(y + 3)$