номер 2, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$$\frac{x^2}{x + 3} = \frac{5x - 6}{x + 3}$$

Решение:

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

2. Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения одинаковы, приравняем их числители:
$x^2 = 5x - 6$

Перенесём все слагаемые в левую часть и решим получившееся квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Найдём корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

3. Проверим ОДЗ: оба корня не равны $-3$, значит, оба являются решениями уравнения.

Ответ: $2$; $3$.

б)$$\frac{x^2 + 9x + 18}{x^2 - 36} = \frac{5}{x - 6}$$

Решение:

1. Разложим знаменатель левой дроби по формуле разности квадратов:
$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$

2. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} x - 6 \neq 0 \\ x + 6 \neq 0 \end{cases} \implies x \neq 6$ и $x \neq -6$.

3. Перенесём дробь из правой части в левую и приведём их к общему знаменателю $(x - 6)(x + 6)$:
$$\frac{x^2 + 9x + 18}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{5}{x - 6} = 0$$
$$\frac{x^2 + 9x + 18 - 5(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)} = 0$$

Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{x^2 + 9x + 18 - 5x - 30}{(x - 6)(x + 6)} = 0$$
$$\frac{x^2 + 4x - 12}{(x - 6)(x + 6)} = 0$$

4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
$x^2 + 4x - 12 = 0$

Найдём корни через дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$
$x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

5. Проверим ОДЗ:
Корень $x = -6$ не удовлетворяет условию $x \neq -6$ (является посторонним корнем).
Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.