Номер 1, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки:

$$\begin{cases} x - y = 5, \\ x^2 - 15y = 109. \end{cases}$$

Выразим переменную $y$ через $x$ из первого уравнения:

$y = x - 5$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы вместо $y$:

$x^2 - 15(x - 5) = 109$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 15x + 75 = 109$

$x^2 - 15x + 75 - 109 = 0$

$x^2 - 15x - 34 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-34) = 225 + 136 = 361 = 19^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-(-15) + 19}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 19}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$x_2 = \frac{-(-15) - 19}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 19}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдём соответствующие значения переменной $y$, подставив найденные значения $x$ в выражение $y = x - 5$:

Если $x_1 = 17$, то $y_1 = 17 - 5 = 12$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 - 5 = -7$.

Таким образом, решением системы являются две пары чисел: $(17; 12)$ и $(-2; -7)$.

Ответ: $(17; 12)$, $(-2; -7)$.