Номер 2, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Дано:
$P = 34\text{ см}$
$S = 60\text{ см}^2$

Найти: стороны прямоугольника.

Решение:
Пусть стороны прямоугольника равны $a\text{ см}$ и $b\text{ см}$.

Периметр прямоугольника находится по формуле: $$P = 2(a + b)$$ Зная, что $P = 34\text{ см}$, запишем: $$2(a + b) = 34$$ $$a + b = 17$$ Выразим сторону $b$ через $a$: $$b = 17 - a$$

Площадь прямоугольника находится по формуле: $$S = a \cdot b$$ Подставим известную площадь и выражение для $b$: $$a(17 - a) = 60$$ $$17a - a^2 = 60$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону и получим квадратное уравнение: $$a^2 - 17a + 60 = 0$$

Найдём корни уравнения с помощью дискриминанта: $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 = 7^2$$ $$a_1 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$$ $$a_2 = \frac{17 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$$

Если длина одной стороны $a = 12\text{ см}$, то вторая сторона $b = 17 - 12 = 5\text{ см}$.
Если длина стороны $a = 5\text{ см}$, то вторая сторона $b = 17 - 5 = 12\text{ см}$.
Оба значения удовлетворяют геометрическому смыслу задачи.

Ответ: $5\text{ см}$ и $12\text{ см}$.